数论——进制

进制#

我们平时用的数字都是逢十进一的，称为十进制，逢b进一的计数规则就叫b进制。记作 $(Num)_b$ 。如 $(100110)_2$ 为二进制数字100110。b称为基数。

如何转换#

我们主要注重任何进制和十进制之间的转换。

b进制展开式#

设有一b进制数 $(a_k\ a_{k-1}\ a_{k-2}\ ... \ a_0)_b$ ，下面这个式子可以将它转换成十进制数n。

n = a_{k} \times b^{k} + a_{k - 1} \times b^{k - 1} + . . . + a_{0} \times b^{0}

$n = a_k\times b^k+a_{k-1}\times b^{k-1} + ... + a_0\times b^0$

转换到b进制#

把一十进制数n转换成b进制，首先我们要构造这样的式子：

n = b q + r

$n = bq+r$

这就是上一篇笔记的求余运算嘛，我们得到了两个新的数，商q和余数r。

然后，我们再递归构造上面的式子，把q当作n：

q = b q_{1} + r_{1}

$q = bq_1 + r_1$

直到最后除不下去了，我们把之前的余数反向组合起来， $(r_k\ r_{k-1}\ r_{k-2}\ ...\ r_0)_{b}$ 就是结果。

举个例子

12345 = 8 \times 1543 + 1 1543 = 8 \times 192 + 7 192 = 8 \times 24 + 0 24 = 8 \times 3 + 0 3 = 8 \times 0 + 3 (12345)_{10} = (30071)_{8}

$12345 = 8\times 1543 + 1\\ 1543 = 8\times 192 + 7\\ 192 = 8\times 24 + 0\\ 24 = 8\times 3 + 0\\ 3 = 8\times 0 + 3\\ (12345)_{10} = (30071)_8$

n进制转m进制#

先思考一个简单的办法，现在我们已经掌握了任意进制到10进制的转换，也掌握了十进制到任意进制的转换，那么对于n，我们可以先把它转换成10进制，再把这个十进制数转换成m进制，不就好了吗。

C++代码

#include "iostream"
#include "string"
#include "cmath"
using namespace std;

int n2t(int src,int base){
	int result = 0;
	int level = 0;
	while(src!=0){
		int x = src%10;
		src = src / 10;
		result += x * pow(base,level++);
	}
	return result;
}

int t2n(int src,int target_base){
	int result = 0;
	int level = 0;
	while(src!=0){
		int mod = src % target_base;
		src = src / target_base;
		result = mod * pow(10,level++) + result;
	}
	return result;
}

int n2m(int src,int base,int target_base){
	if(target_base==10)
		return n2t(src,base);
	else if(base == 10)
		return t2n(src,target_base);
	else{
		return t2n(n2t(src,base),target_base);
	}
}
int main(){
	cout << n2t(120,8) << endl;
	cout << t2n(80,8) << endl;
	cout << n2m(16,8,2) << endl;
	return 0;
}

这段代码只能完成2~10进制的任意转换，因为使用的是int类型，无法表述10进制以上的数了，可以使用字符串解决这个问题。

有没有更简单的办法呢？其实有。

我们常用的进制就是二进制，八进制，十进制，十六进制。对于八进制，因为 $8=2^3$ ，所以1位八进制数可以完整的用3位二进制来表示，这样就可以建立一对一关系。而十六进制也是一样的，1位十六进制可以完整的用4位二进制来表示。

二进制	八进制	十六进制
000	0	0
001	1	1
010	2	2
011	3	3
100	4	4
101	5	5
110	6	6
111	7	7
1000	10	8
1001	11	9
1010	12	A
1011	13	B
1100	14	C
1101	15	D
1110	16	E
1111	17	F

我们几个八进制来举例，比如 $(12)_8$ ，我们先查 $(1)_8$ ，发现 $(1)_8=(001)_2$ ，然后查 $(2)_8=(010)_2$ ，所以 $(12)_8$ 就是把每个八进制位对应的二进制数简单的做字符串相加即可得到 $(12)_8=(001010)_2$ ，去除前面的00，查表发现结果是正确的。十六进制也是一样，不演示了。

所以有了这个理论基础，对于二的幂次作为基数的进制，我们可以直接建立一个表，让计算机去查表，这样就可以更快的完成运算。

伪代码

h2b_table = {0->0000,1->0001,...,F->1111}
function h2b(hexString): string
    result = ""
    for each char c in hexString
        result += h2b_table[c];
    return removeFrontSpace(result)