正交

正交向量#

两个向量如果点乘积为0则称正交，正交的意思和垂直差不多。

条件公式

$$x_1 \times y_1 + x_2 \times y_2 + ... + x_n \times y_n = 0$$

矩阵语言

$$x^T y = 0$$

正交空间#

矩阵中的两个子空间正交当且仅当两空间中每个向量都正交。

正交补#

n维空间中一个子空间S，它的正交补是这个n维空间中包含所有与之正交的向量的子空间

如果S的维数为r，那么它的正交补的维数为n-r

行列空间与零空间#

行空间和零空间是正交空间，且它们各为彼此的正交补。

观察式子$Ax=0$不难发现A中的每一行乘向量x都为0，所以它们正交没问题，而且对于它们的线性组合也是一样的，所以说行空间和零空间正交。

与之相同的一对就是列空间和左零空间，它们也是同样的关系，可以看作$A^T$的行空间和零空间，道理是一样的。

参考资料#

• MIT线性代数公开课 - bilibili