四个基本空间
概述
讨论矩阵的四个基本子空间,通过维数和基来深入了解四个子空间。
列空间
列空间我们都熟悉了,就是矩阵列线性组合组成的空间。
- 位于: \(R^m\)空间
- 维数:r
- 一组基:主元列
零空间
零空间也并不陌生,使\(Ax=0\)的所有x组成的空间
- 位于: \(R^n\)空间
- 维数: n-r
- 一组基: 特解
行空间
行空间可以看作\(A^T\)的列空间
一个有趣的性质是一个矩阵的秩如果是r,那么它的转置的秩也是R,所以行空间的维数得到了。是m-r
从基的定义我们知道,对于行空间的一组基,其实就是那些线性无关行组成的集合,那不正是简化行阶梯型(rref)中的非零行嘛,也就是前r行。
- 位于: \(R^n\)空间
- 维数: r
- 一组基: rref中的前r行
左零空间
左零空间是行空间的零空间,也可以看作\(A^T\)的零空间,也就是使得\(A^Ty=0\)的所有y组成的空间
为啥叫左零空间??因为\(A^Ty=0\)可以看作\((A^Ty)^T=0^T\),也就是\(y^TA=0\)。
再重复一遍这个公式:\(y^TA=0\)
嘶根据矩阵的乘法规则,那\(y^T\)不就是简化行阶梯中的零行所对应消元矩阵嘛的行嘛。
所以用高斯若尔当法求出消元矩阵,再取后m-r行就可以了嘛。。。
- 位于: \(R^m\)空间
- 维数: m-r
- 一组基:A消元矩阵的后m-r行