四个基本空间

概述#

讨论矩阵的四个基本子空间，通过维数和基来深入了解四个子空间。

列空间#

列空间我们都熟悉了，就是矩阵列线性组合组成的空间。

• 位于: $R^m$空间
• 维数：r
• 一组基：主元列

零空间#

零空间也并不陌生，使$Ax=0$的所有x组成的空间

• 位于: $R^n$空间
• 维数: n-r
• 一组基: 特解

行空间#

行空间可以看作$A^T$的列空间

一个有趣的性质是一个矩阵的秩如果是r，那么它的转置的秩也是R，所以行空间的维数得到了。是m-r

从基的定义我们知道，对于行空间的一组基，其实就是那些线性无关行组成的集合，那不正是简化行阶梯型(rref)中的非零行嘛，也就是前r行。

• 位于: $R^n$空间
• 维数: r
• 一组基: rref中的前r行

左零空间#

左零空间是行空间的零空间，也可以看作$A^T$的零空间，也就是使得$A^Ty=0$的所有y组成的空间

为啥叫左零空间？？因为$A^Ty=0$可以看作$(A^Ty)^T=0^T$，也就是$y^TA=0$。

再重复一遍这个公式：$y^TA=0$

嘶根据矩阵的乘法规则，那$y^T$不就是简化行阶梯中的零行所对应消元矩阵嘛的行嘛。

所以用高斯若尔当法求出消元矩阵，再取后m-r行就可以了嘛。。。

• 位于: $R^m$空间
• 维数: m-r
• 一组基：A消元矩阵的后m-r行

参考资料#

MIT线性代数公开课 p10 - bilibili