基、维数

基#

基是生成一个向量空间的最小向量组。

它们：

• 线性无关
• 个数不多不少，刚好生成向量空间

如一个$R^3$的基：

$$\left[ \begin{matrix} 1\\0\\0\\ \end{matrix} \right], \left[ \begin{matrix} 0\\1\\0 \end{matrix} \right], \left[ \begin{matrix} 0\\0\\1 \end{matrix} \right]$$

当然这不是唯一的，任意满足上面两点的都可以是一组基。

所以$R^n$的基一定是$n\times n$的，并且这个矩阵必须可逆。（可逆的条件不正是零空间中只有零向量嘛，这不又正是线性无关嘛，这下可以串联起来了）

维数#

维数就是基中的向量个数

所以我们把知识串联起来：

矩阵列的线性组合的空间的基的个数 = 该矩阵列空间的维数 = 该矩阵的秩的个数 = 矩阵中线性无关列（主列）的个数

其实同样等于行的，这是个特性，只不过Gilbert Strang老爷子还没讲到

那零空间的维数是啥？？$n-r$，矩阵列数减去秩数

这很显而易见

参考资料#

MIT线性代数公开课 p9 - bilibili