LU分解和转置
EA=U
我们通过消元法解出\(Ax=b\)，在消元过程中，我们要把A化成上三角形式，我们称之为\(U\)。而\(E\)就是描述\(A\)与\(U\)关系的矩阵，我们有\(EA=U\)。
这是之前学过的内容，再熟悉不过了，但是我们的行交换矩阵\(E\)并不是一个漂亮的形式，为啥这么说呢！？看个例几~
这里我们对A第二行进行消元，我们使用矩阵\(E_{21}\)来表示上面左乘矩阵A的矩阵，这个矩阵反应了我们对A的消元操作，这就不用我说了。
我们把这一步得出的矩阵暂且命名为\(U_1\)
继续消元，这回就得到最后的U了。
得出了E，\(E\)反应了我们对\(A\)所进行的消元操作，\(E_{(2,1)}\)说明该行从原矩阵取了-2倍行一，\(E_{(2,2)}\)说明该行从原矩阵取了1倍行二，这也就是我们对第二行进行的消元操作——减去2倍行一。
但是第三行就有问题了，我们对第三行进行消元时，并没有从第三行中减去任何倍的行一，我们直接减去了1倍的行2，但是这个位置却有个2，这是因为上一步消元中我们对行2减去了2倍行一，而这次消元我们直接用行3减去了已经处理完的行2，所以之前的操作就体现在这里了。
但是，这个数据是多余的，因为矩阵\(E\)中的第二行已经足够说明这个操作了，我们不想要它。这就有了\(A=LU\)这一形式。
A=LU
我们先看看\(L\)是啥，因为之前我们知道的式子是\(EA=U\)，两边分别左乘\(E^{-1}\)，则得到\(A=E^{-1}U\)，所以\(L\)即\(E\)的逆。
然后再看看\(E\)的逆是啥：
对于E这种消元矩阵，逆的本质其实是把消元所做的操作复原，所以那些关键的部分的负号都变成了正号。所以它的你很容易得到。
不过随便你用什么求逆，高斯若尔当法、matlab？？反正你会得到这个，令人惊奇的是这个矩阵个没用的数字没了只剩下这些我们关注的，对消元有用的信息。
A=PLU
呦呦呦，不知道你发没发现，上面我们举得例子都是没有行互换的，而现实场景恰恰都要行互换，所以我们要得到下一个形式。
我们先来定义一些置换矩阵，它是单位矩阵的行互换形式，对于这种矩阵，它的逆等于它本身，它们相乘，结果也依然在这些矩阵中。
我们看看\(2 \times 2\)形式下的所有置换矩阵：
第一个就是单位阵，它啥都不做，第二个把第一行和第二行互换。
对于\(3 \times 3\)我就不说了，它有6个，对于\(n \times n\)有\(n!\)个置换矩阵。
所以完整的形式应该是\(A=PLU\)，P代表所作的行互换。
转置
转置放在这里实在有点不搭，但是Gilbert Strang老爷子就是这么讲的哈哈哈，我好喜欢这老爷子~~
转置即把矩阵放倒或立起来：
对称矩阵的转置等于本身：
对于转置有如下运算性质：
一个矩阵乘它的转置必定得到一个对称矩阵：
