矩阵乘法和逆

矩阵乘法的几种做法#

行乘列#

矩阵乘列#

行乘矩阵#

列乘行#

块乘块#

单位阵#

一个矩阵乘以单位矩阵等于本身

$$\begin{equation} \left[\begin{array}{ccc} 1&2&3\\\\ 4&5&6\\\\ 7&8&9 \end{array} \right] \times{ \left[\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right]}= \left[\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{array} \right] \end{equation}$$

逆矩阵#

一个矩阵乘以它的逆矩阵等于单位阵

$$\begin{equation} A^{-1} \times A = I = A \times A^{-1} \end{equation}$$

无逆的矩阵#

如下矩阵无逆

$$\left[\begin{array}{ccc} 1&3\\ 2&6 \end{array} \right]$$

我们看下原因

从列的角度思考

第一列向量和第二列向量在一条线上，它们是倍数关系，即使去掉其中一列，矩阵张成的空间也不变。你无论用什么矩阵乘它，得到的都是在这条线上的玩意，而单位阵中的每个向量是不共线的，所以。。。

可以的出结论，如果一个n维方阵不能撑开整个n维空间，他就没有逆。所以下面是矩阵没有逆的条件

$$\begin{equation} \exists \,vector \,x \,(x \not = 0) \,st. \,Ax=0\\ 存在一个向量x（x不是零向量）使得Ax为零向量 \end{equation}$$

因为有一对下向量是倍数关系，对于这两列我们很容易取一个系数让结果为0,比如上面的例子，第二列是第一列的三倍，我们只需要取3倍的列一和-1倍的列二结果就为0，所以，对于上面的矩阵，x为：

$$\left[\begin{array}{ccc} 3\\ -1 \end{array} \right]$$

如果还存在其他不共线的向量直接取0倍即可。

从行列式的角度思考

矩阵行列式为0时矩阵没逆

因为有两列共线，消元后就有一个为0的主元，行列式必然是0

高斯若尔当法求逆矩阵#

假设我们有矩阵A，求解它的逆矩阵，假如那个标满黑人问号的矩阵为所求矩阵，那肯定满足如下公式：

$$\begin{equation} \left[\begin{array}{ccc} 1&3\\ 2&7 \end{array}\right] \times \left[\begin{array}{ccc} ?&?\\ ?&? \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right] \end{equation}$$

我们线把单位矩阵和A组合起来，变成A的增广矩阵：

$$\begin{equation} \left[\begin{array}{ccc} 1&3&1&0\\ 2&7&0&1 \end{array}\right] \end{equation}$$

然后对它消元

$$\begin{equation} 行2减去2倍行1\\ \left[\begin{array}{ccc} 1&3&1&0\\ 0&1&-2&1 \end{array}\right]\\ 行1减去3倍行2\\ \left[\begin{array}{ccc} 1&0&7&-3\\ 0&1&-2&1 \end{array}\right]\\ \end{equation}$$

然后左侧原来的矩阵A变成了单位阵，右侧的就是A的逆矩阵，原理就是我们刻意通过消元找到一个矩阵E乘A为单位阵，因为E在平常的消元步骤中不体现出来，所以把A变成加个单位阵的增广矩阵，E就能体现出来了。

$$\begin{equation} E\times AI = IE(E=A^{-1}) \end{equation}$$

AB的逆#

$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$

参考资料#

• MIT线性代数公开课 - bilibili