单源最短路径(Dijkstra算法)

上一篇笔记记录了另一个单源最短路径算法Bellman-Ford算法，本篇的部分内容依赖上一篇笔记。最好先看上一篇。

Bellman-Ford算法可以运行在带负权重的边上，因为存在负权重，所以记录节点的最短路径估值d不是递增的，最短路径树后面的节点的d可能比前面的节点还小，这就让我们必须在算法上多加考虑，所带来的时间复杂度就更高。而如果没有负权边，我们需要考虑的就少很多了。

放在前面#

我们讨论单源最短路径时有这两个公共方法，具体说明在上一篇笔记中有提到。

INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)
    for 图G中的每个节点 v
        v.d = ∞
        v.PI = NIL
    s.d = 0

RELAX(u,v,w)
    if v.d > u.d + w(u,v)
        v.d = u.d + w(u,v)
        v.PI = u

下面看看Dijkstra算法是怎么解决问题的吧。

Dijkstra算法#

DIJKSTRA(G,w,s)
    INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)
    S = ∅
    Q = G.v
    while Q != ∅
        u = EXTRACT-MIN(Q)
        S = S ∪ {u}
        for v in G.Adj[u]
            RELAX(u,v,w)

Dijkstra算法使用贪心策略，维护一个以d属性为key的最小优先队列和一个已发现节点集合S。算法每次从队列中弹出一个d最小的节点，把它加入到S中，这保证Q和S中永远没有交集。然后对每一个Q中弹出的最小的节点，把和此节点邻接的所有边松弛。

我们要证明的就是对于每次弹出的节点v有v.d==sp(s,v)，就是说每一次弹出的节点它的最短路径估值就是源到它的最短路径。

我不打算用算法导论里面严密的数学论证，那样的话我保证下次看我会再疯一次的。

只要可以保证对于算法循环里每一步从最小优先队列里弹出的节点u，u.d==sp(s,u)，并且在所有后续操作中这个d属性不会被修改了就可以了。

我们看这个图，源节点s的d为0，其他的默认都是无穷，Dijkstra算法第一步肯定弹出s节点，对s的邻接节点进行松弛，一旦松弛操作完成，abcd的d属性就都有了值，a.d=w，b.d=q，c.d=x，d.d=y，Dijkstra算法弹出它们中d值最小的节点u(u属于{a,b,c,d})，我们要证明的是u.d==sp(s,u)。如u在a,b,c中，那这个等式直接成立了，因为从源到这三个节点只有一条路。如果u=d，势必y<=x，因为没有负权重，所以y<=x+z，所以u.d==sp(s,u)正确。而且对于每个弹出的u，它的这个d值在后面不会改变了，因为它已经是最短路径的权重了，找不到更短的路径了，所以所有松弛操作对它不会再起作用。而算法会把所有从源能达到的节点都弹出一遍，所以所有节点的d都是正确的。

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