完 成 日 期 2024 年 10 月
1题目
8.已知某工厂计划生产1，2，3三种产品，各产品需要在ABC设备加工。有关数据如下：
1 2 3 每月设备有效台时
A 8 2 10 300
B 10 5 8 400
C 2 13 10 420
单位产品利润/千元 3 2 2.9
(1).如何发挥生产能力，使生产盈利最大？
(2).若为增加产量，可借用设备B60台时，租金1.8万，是否合算？
(3).假设另有两种新产品4，5。4需要用A12台时，B5台时，C10台时，单位盈利2.1千元；5需要设备A4台时，B4台时，C12台时，单位盈利1.87千元，如果ABC设备台时不增加，问新产品投入是否合算？
(4).对产品重新设计，改进A9台时，B12台时，c台时，单位盈利4.5千元，对原计划有何影响？
2理论分析与分工安排
要解决这个问题，可以使用线性规划的方法来确定最优的产品组合，以最大化总利润，同时满足设备的可用台时限制。
(1)
我们需要设立决策变量xa1-xc3分别代表a b c三设备分别生产产品1, 2 和3的数量，并建立目标函数和约束条件。
目标函数（总利润）: Z=3x1+2x2+2.9x3
其中X1=xa1+xb1+xc1
X2,x3同上
约束条件（设备台时限制）: 8xa1+2xa2+10xa3≤300
10xb1+5xb2+8xb3≤400
2xc1+13xc2+10xc3≤420
此外，所有决策变量必须非负.
(2)
方法一：计算新增加的设备B能带来的额外利润。这需要我们再次运行线性规划，但是这次将设备B的有效台时从400增加到460。然后计算额外的利润是否大于租金成本18000元。
方法二：局部方法，注意到60b台时投入2产品可得24千元，可知是合算的。
(3)
对于新产品4和5，我们需要检查在现有设备台时限制下，是否有可能通过生产这两种新产品来增加利润。为此，我们需要重新设置目标函数和约束条件，并再次求解线性规划问题。
目标函数更新: Z′=3x1+2x2+2.9x3+2.1x4+1.87x5
约束条件（设备台时限制）: 8xa1+2xa2+10xa3+12xa4+4xa5≤300
10xb1+5xb2+8xb3+5xb4+4xb5≤400
2xc1+13xc2+10xc3+10xc4+12xc5≤420
求解并比较总利润变化。
(4)
需要重新定义目标函数并更新约束条件。
目标函数更新: Z=4.5x1+2x2+2.9x3
其中X1=xa1+xb1+xc1
X2,x3同上
更新约束条件: 9xa1+2xa2+10xa3≤300
12xb1+5xb2+8xb3≤400
4xc1+13xc2+10xc3≤420
3代码实现
第一问：
f=[-3,-2,-2.9,-3,-2,-2.9,-3,-2,-2.9];
A=[8 2 10 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 10 5 8 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 2 13 10];
B=[300 400 420];
aeq=[];
beq=[];
lb=zeros(9,1);
ub=[];
[x,fval]=linprog(f,A,B,aeq,beq,lb,ub);
第二问：
f=[-3,-2,-2.9,-3,-2,-2.9,-3,-2,-2.9];
A=[8 2 10 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 10 5 8 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 2 13 10];
B=[300 460 420];
aeq=[];
beq=[];
lb=zeros(9,1);
ub=[];
[x,fval]=linprog(f,A,B,aeq,beq,lb,ub);
第三问：
f=[3,2,2.9,2.1,1.87,3,2,2.9,2.1,1.87,3,2,2.9,2.1,1.87];
A=[8 2 10 12 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 10 5 8 5 4 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 13 10 10 12];
B=[300 400 420];
aeq=[];
beq=[];
lb=zeros(15,1);
ub=[];
[x,fval]=linprog(-f,A,B,aeq,beq,lb,ub);
第四问：
f=[4.5,2,2.9,4.5,2,2.9,4.5,2,2.9];
A=[9 2 10 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 12 5 8 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 4 13 10 ];
B=[300 400 420];
aeq=[];
beq=[];
lb=zeros(9,1);
ub=[];
[x,fval]=linprog(-f,A,B,aeq,beq,lb,ub);
4实验结果
第一问：
Xa2=150,Xb2=80,Xc1=210
Fval=1090
第二问：
Fval=1114>1090+18
合算
第三问：
Fval=1117>1090
经济上合算
第四问：
Fval=932.5
5总结与思考
通过对工厂生产线进行线性规划，能够有效地找出最优的产品组合方案，使得工厂能够在给定的设备台时限制下实现最大的盈利。
在第二问中，通过增加设备B的租赁，虽然需要支付一定的租金，但总体收益有所提升，因此是合理的决策。
在第三问中，引入了新产品，但整体的盈利能力有所提高，说明新产品投入是合算的。
在第四问中，尽管产品的单位盈利提高了，但由于生产工艺的变化，导致整体盈利下降。
通过这次实验，学会了如何利用matlab中的线性规划函数解决问题具体问题，这可以用来评估不同决策对业务的影响。同时我也注意到，每台机器总是对其生产效益最高的产品进行生产，这使得线性规划‘退化了’。在这个问题中，并未体现线性规划中的系统性，即子问题间相互牵制的特性。
