算法 | 最大公约数与最小公倍数：辗转相除法

最大公约数

已知两个数x和y，求x和y的最大公约数

暴力循环求解：

	public static void gcd(int x, int y) {
		if (y > x) {//如果y>x，交换x与y
			int t = x;
			x = y;
			y = t;
		}
		for (int i = y; i > 0; i--) {
			if (x % i == 0 && y % i == 0) {
				System.out.println(i);
				break;
			}
		}
	}

辗转相除法求解：

	public static void gcd(int x, int y) {
		while(true) {
			if(y==0) {
				System.out.println(x);
				break;
			}
			int t=y;
			y=x%y;
			x=t;	
		}	
	}

辗转相除法递归求解：

	public static void gcd(int x, int y) {
		if (y == 0) {
			System.out.println(x);
			return;
		}
		gcd(y, x % y);
	}

理解辗转相除法：

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最小公倍数

【定理】：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积，即（a，b）×[a，b]=a×b，a，b的最大公约数记为（a，b），a，b的最小公倍数记为[a，b]。

所以[a，b]=a×b / (a，b)

两个数的最小公倍数求解：

import java.util.Scanner;

public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner in = new Scanner(System.in);
		int x = in.nextInt();
		int y = in.nextInt();
		System.out.println(lcm(x, y));
	}

	public static int lcm(int x, int y) {//求两个数的最小公倍数
		return (x*y)/gcd(x,y);	
	}

	public static int gcd(int x, int y) {
		if (y == 0) {
            return x;
		}
		return gcd(y, x % y);
	}
}

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求多个数的最大公约数和最小公倍数：

public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		int[] nums = { 27, 18, 9, 81 };
		System.out.println("最大公约数：" + gcdMore(nums, 3));
		System.out.println("最小公倍数：" + lcmMore(nums, 3));
	}

	public static int gcd(int x, int y) {
		if (y == 0) {
            return x;
		}
		return gcd(y, x % y);
	}

	public static int lcm(int x, int y) {// 求两个数的最小公倍数
		return (x * y) / gcd(x, y);

	}

	private static int gcdMore(int[] nums, int n) {// 求多个数的最大公约数
		if (n == 1)
			return nums[n - 1];
		return gcd(nums[n - 1], gcdMore(nums, n - 1));
	}

	private static int lcmMore(int[] nums, int n) {// 求多个数的最小公倍数
		if (n == 1)
			return nums[n - 1];
		return lcm(nums[n - 1], lcmMore(nums, n - 1));
	}
}

讲解：

1. 求n个数的最大公约数:采用递归。与求两个数的最大公约数一样，先将前面n-1个数的最大公约数求出来，再与第n个数进行辗转相除；
2. 求n个数的最小公倍数:采用递归。与求两个数的最小公倍数一样，先将前面n-1个数的最小公倍数a求出来，再求该a与第n个数的最小公倍数；

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