你也可以手绘二维码（二）纠错码字算法：数论基础及伽罗瓦域GF（2^8）

摘要：本文讲解二维码纠错码字生成使用到的数学数论基础知识，伽罗瓦域（Galois Field）GF（2^8），这是手绘二维码填格子理论基础，不想深究可以直接跳过。同时数论基础也是 Hash 算法，RSA 算法等密码学的入门基础。

二维码生成算法最为核心的就是编码规则和纠错码字的生成。本篇专门讲解纠错涉及到的伽罗瓦域（Galois Field）。本文内容大部分是阅读《密码编码学与网络安全》后参考相关 PPT 编写，如有遗漏或不严谨地方请参考专业书籍。

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数论基础

整除，因数，素数

设 a , b(b≠0) 是两个整数，如果存在另外一个整数 c 使得 a=b·c , 则称 b 整除 a, 记为 b|a, 且称 b 为 a 的因子。如果 p (p>1) 的因子只有 ±1，±p，称整数 p 是素数。

模

如果 a 和 n(n≠0) 是两个整数，则定义 a mod n 是 a 除以 n 所得的余数。正整数 n 称为模数。因此对于任意整数 a 可以写出：

a = qn + r (0<=r<n);q= ⌊a/n⌋

a = ⌊a/n⌋ * n + ( a mod n)

例子： a = 49,n = 8, 则 q = 49 mod 8 = floor(49/8) = 6 , r = 49 mod 8 = 1
,49 = 6 * 8 + 1 .

最大公因数

最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有因子中最大的一个。记为 gcd(a,b)。如果 gcd(a,b) = 1 , 则说 a,b 互素，记为 a⊥b。

Euclid 定理：对任意非负整数 a 和正整数 b，有 gcd(a, b)=gcd(b, a-b)=gcd(b, a mod b)=gcd(a, b mod a), 这也是常见的辗转相除法的理论基础。

示例：

gcd(18,12)
= gcd(12,18-12) = gcd(12,6) = gcd(6,0) = 6

= gcd(12，18 mod 12) = gcd(12,6) = gcd(6,0) = 6

同余

如果 (a mod n)=(b mod n)，则称两整数 a 和 b 模 n 同余，记为 a ≡ b mod n。模 n 的剩余类集合定义比 n 小的非负整数集合 Z(n)={0,1,2...,(n-1)}，更准确来说集合中每一个整数都代表一个剩余类。我们将模 n 的剩余类表示为 [0],[1],...[n-1], 其中 [r] = {a:a 是一个整数，a ≡ n mod r}.

mod 在此处的含义表示 a 和 b 对于给定的模数有等价关系，和说（a- b）是 n 的整数倍一样。

例子：49 mod 8 = 17 mod 8 = 1 , 则 49 ≡ 17 mod 8, 等价于 8 | (49 - 17 ) = 8 | 32 显然是成立的。

模运算

模运算的结果都限制在模的剩余类里面，运算封闭这是非常重要的一个性质。

• 交换律
  • (w+x) mod n=(x+w) mod n
  • (w×x) mod n=(x×w) mod n
• 结合律
  • [(w+x)+y] mod n=[w+(x+y)] mod n
  • [(w×x)×y] mod n=[w×(x×y)] mod n
• 分配律
  • [w×(x+y)] mod n=[w×x+w×y] mod n
• 单位元
  • (0+w) mod n=w mod n
  • (1×w) mod n=w mod n
• 加法逆元
  • 对 w∈Zn 存在 z∈Zn，使得 w+z≡0 mod n，记 z=-w。
• 加法可约律
  • 如果 (a+b) ≡ (a+c) mod n，则 b≡c mod n
• 乘法可约律
  • 如果 (a×b) ≡ (a×c) mod n 且 a 有乘法逆元，那么对 (a×b) ≡ (a×c) mod n 两边同乘以 -a，即得 b ≡ c mod n

下面的示例是计算 Z(4)=｛0，1，2，3｝的模加法和模乘法

加法模运算

(a mod 4) + (b mod 4) = (a+b) mod 4

+	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

加法：对每一 x，都有一 y，使得 x+y ≡ 0 mod 4。如对 3，有 1，使得 3+1 ≡ 0 mod 4，称 y 为 x 的负数，也称为加法逆元。

乘法模运算

(a mod 4) * (b mod 4) = (a*b) mod 4

*	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	0	2
3	0	3	2	1

乘法：对 x，若有 y，使得 x*y ≡ 1 mod 4，如 3×3 ≡ 1 mod 4，则称 y 为 x 的倒数，也称为乘法逆元。
并非每一 x 都有乘法逆元。

定理：设 a∈Zn，gcd(a, n) = 1，则 a 在 Zn 中有乘法逆元。

上表中只有 a = 1,a = 3 满足 gcd(a,4) = 1, 从高亮结果可以看到定理的正确性。严格证明略。

扩展的欧几里德算法

对于给定的整数 a 和 b ，扩展的欧几里德算法不仅能计算出最大公约数 gcd(a,b)，还可以算出另外两个整数 x 和 y 满足方程 a*x + by = d = gcd(a,b)。对于给定的 (a,b) 如何计算 (x,y,d), 过程如下：（截图《自密码编码学与网络安全 原理与实践 第 6 版》 , 斯托林斯著）

算法流程图如下：默认 a > b，否则根据性质可以调整过来

最常用的方法就是使用一个表格计算：
gcd(1759,550)= gcd(550,1759 mod 550) =gcd(550,109) = gcd(109,5) = 1

Q（整数部分）	X1	X2	X3	Y1	Y2	Y3
---	1	0	1759	0	1	550
1759/550=3	0	1	550	1-3*0=1	0-3*1=-3	109
550/109=5	1	-3	109	0-5*1=-5	1-5*(-3)=16	5
109/5=21	-5	16	5	1-21*(-5)=106	-3-21*16=-339	4
5/4=1	106	-339	4	-5-1*106= -111	16-1*(-339)=355	1

直到 Y3 = 1 , 此时 有 d = Y3 = 1，x = Y1 = -111，y = Y2 = 355. 验算如下： 1759 * (-111) + 550 * (355) = -195249 + 195250 = 1 .

域，群，环

具体就不展开了，感兴趣可以参考相关专业书籍，截图一张说明他们满足公理的关系

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伽罗瓦域定义

在数学中，有限域（英语：Finite field）或伽罗瓦域（英语：Galois field，为纪念埃瓦里斯特·伽罗瓦命名）是包含有限个元素的域。与其他域一样，有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合。有限域最常见的例子是当 p 为素数时，整数对 p 取模。有限域的元素个数称为它的序。

这是维基百科的定义，需要请点击查看更多内容。

每个有限域的阶必为素数的幂，即有限域的阶可表示为 pⁿ（p 是素数，n 是正整数），记为 GF(pⁿ)。当 n = 1，GF(p) 就是 mod p，因为一个数 模 p 后，结果在 [0, p-1] 之间，有限域包含 p 个元素。

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下期将会讨论具体的 GF(pⁿ) 编码实现过程，敬请期待！

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