KMP算法的理解
一直以来，对KMP算法都不是很理解。最近又对其学习一遍，总算有所收获，基本理解此算法的思想。其根本思想：尽可能多地利用已有知识，使匹配过程，目标串不走回头路。
1 问题定义
记：$S[0]S[1] \cdots S[M]$为目标（字符）串，$P[0]P[1] \cdots P[N]$为模式（字符）串，在目标串中找到模式串的位置。
2 普通串匹配算法
普通串匹配算法非常简单，一句话概括：遇到不匹配的位置，模式串回退至起始位置，目标串亦回退到当前匹配过程起始位置的下一个位置。图示如下：
失配发生时的匹配关系：
匹配一：
下一次的匹配关系：
匹配二：
根据匹配一的结果，要想匹配二成立，则首先要确保：$P[0]=P[1], P[1]=P[2], \cdots, P[K-1]=P[K]$，换一种表述方式，即
$$ P[0]P[1] \cdots P[K-1] = P[1]P[2]\cdots P[K] $$
得到如下事实：
结论一：如果上式成立，则直接比较$S[L+K+1]$与$P[K]$及后续的字符即可；【注：这是一种非常特殊的情况，可看做KMP的特例】
结论二：如果上式不成立，匹配二必然不成立，其实做了很多无用功。
3 KMP串匹配算法
下面我们对上节得到的结论二做一个扩展：结论二是目标串指针移动一位后失配的情况，此时如果按上述算法，依然往下移一位，此时如果要使目标子串$S[L+2] \cdots S[L+K-1]$与$P[0] \cdots P[K-2]$匹配，则需要有：
$$ P[0]P[1] \cdots P[K-2] = P[2]P[3] \cdots P[K] $$
依次类推，由此得到结论三：
结论三：要使目标串指针不改变，那么需要将模式串指针调整到位置$k$处，使得：
$$ P[0]P[1] \cdots P[k] = P[K-k+1]P[K-k+2] \cdots P[K] $$
满足上式最大的$k$便是我们要求的$next$函数值，这也是KMP算法的核心思想：利用已有匹配结果$P[0]P[1] \cdots P[K-1] = S[L]S[L+1] \cdots S[L + K - 1]$，尽量减少无效匹配。特别注意，我着重强调了“减少”二字。结论三也许是初学者最难理解的地方了。
结论三指出了：失配发生时不移动目标串指针，如何调整模式串的指针，使得匹配继续进行。可以看到：匹配发生时，目标串指针调整后的位置仅和目标串本身有关，故可以事先求出，放在一个数组中，这就是$next$数组。下面是$next$函数的求法：
$$
next[K]=\left{
\begin{array}{c}
a \\
b
\end{array}\.
$$
如果按结论三的计算方式，其时间复杂度可能是$O(N^2)$量级的。KMP算法给出了一种新的求$next$数组的方法——递推求解，从而确保时间复杂度为$O(N)$，其中$N$为目标串的长度。
这么有名的串模式匹配算法，在此不作详细介绍了。如果有不了解的请看参考文献的两篇文章。
这里，我只准备介绍一下该算法核心next数组的含义（怎么求，相关博客也很详细）。很多文章介绍next数组的时候，一上来会介绍字符串前缀和后缀的概念，我这里也提一下。给定一个字符串T[0...n]，其前缀有：T[0], T[0,1], ..., T[0...n-1]，其后缀有：T[1], T[1,2], ..., T[1...n]。
既然是串匹配，则必然会有目标串和模式串，当然目标串的长度要比模式串大。这些基础知识在此不再赘述。
传统暴力匹配算法（所有介绍KMP算法都会介绍，我在此不做阐述），一旦模式串和目标串发生失配时，模式串将回退至起始位置，目标串将回退至该轮比较起始位置的下一个位置（有点绕哈）。KMP算法解决的问题是，失配发生时，确保目标串不发生回退，仅改变模式串的位置（有的文章也称为滑动模式串）。
设：目标串为S[0]S[1]...S[m]，模式串为T[0]T[1]...T[n]，m＞n，现在处于如下匹配状态：
↓
目标串：s[0]...s[i-j]...s[i-1]s[i]...s[m]
模式串: T[0]...T[j-1]T[j]...T[n]
↑
即：目标串S[i]和模式串T[j]发生了失配，现在怎么才能保持上面那个箭头，也就是i不变呢？换句话说，S[i]下一次该与T[?]比较呢？我们做如下分析：
要想模式串向前滑动一个位置，也就是S[i]与T[j-1]比较，我们要保证什么？我们必须要确保：
T[0]T[1]...T[j-2] == T[1]T[2]...T[j-1] (1)，
若(1)做不到，则必然会导致S[i]与T[j-1]之前就发生失配了。为什么？因为根据之前匹配，我们有：
S[i-j]==T[0], S[i-j+1]==T[1], ... ,S[i-1]==T[j-1] (2)
模式串向前滑动一步，我们必须要保证：S[i-j+1]==T[0], S[i-j+2]==T[1], ... ,S[i-1]==T[j-2]，才能将匹配进行到S[i]与T[j-1]，综合上述，我们必须确保(1)式成立，否则滑动没意义；
同样的，要模式串向前滑动两部，类似的，我们必须保证：T[0]T[1]...T[j-3] == T[2]T[3]...T[j-1]。——上述分析的这些，不都是T[0]T[1]...T[j]前缀和后缀吗？！
因此，根据上面分析，我们不难得出下述结论：要确保目标串中指针不变，那么下一个匹配的位置就是最大公共前缀的下一个元素。因为大多数语言数组索引以0开始，所以下一个位置就是最大公共前缀的长度了，对不对？于是，我们得到：
失配发生时，有：下一个匹配位置 = k, T[0]T[1]...T[k-1] == T[j-k]T[j-k+1]...T[j-1] ，这个值定义为next[j]，即
next[j]=k (3)
那next[0]是什么呢？它没有前缀啊，这里我们将其定义为next[0]=-1，为什么这么定义，我想可能是特殊处理吧！如果没有公共前后缀，此时next[j] = 0，这也是符合(3)式定义的。
另外还有一种情况我们没有讨论，就是参考文献[2]的优化部分：(3)式的得出没有考虑T[k] != T[j]这种情况，如果出现这一情况，则可以进一步优化，有next[j] = next[k]，这样就进一步减少了比较。
综合上述，我们有next数组表达式如下：
next[j] = { -1, j == 0;
{ k, T[0]T[1]...T[k-1] == T[j-k]T[j-k+1]...T[j-1], T[k] == T[j]
{ next[k], T[0]T[1]...T[k-1] == T[j-k]T[j-k+1]...T[j-1], T[k] != T[j]
{ 0, others.
关于next数组解释至此为止，上述为个人学习总结，如有问题，请留言。时间紧张，故写的比较简单。
附：参考文献：
[1]从头到尾彻底理解KMP：http://blog.csdn.net/tukangzheng/article/details/38438481
[2]KMP串匹配算法解析与优化：http://www.cnblogs.com/tr0217/p/4735279.html
