伪随机数生成算法-梅森旋转（Mersenne Twister/MT）

今天主要是来研究梅森旋转算法，它是用来产生伪随机数的，实际上产生伪随机数的方法有很多种，比如线性同余法，

平方取中法等等。但是这些方法产生的随机数质量往往不是很高，而今天介绍的梅森旋转算法可以产生高质量的伪随

机数，并且效率高效，弥补了传统伪随机数生成器的不足。梅森旋转算法的最长周期取自一个梅森素数，

由此命名为梅森旋转算法。常见的两种为基于32位的MT19937-32和基于64位的MT19937-64。

由于梅森旋转算法是利用线性反馈移位寄存器（LFSR）产生随机数的，所以我们先来认识线性反馈移位寄存器。

首先，移位寄存器包括两个部分

    （1）级，每一级包含一个比特，比如11010110是一个8级的移位寄存器产生的

    （2）反馈函数，线性反馈移位寄存器的反馈函数是线性的，非线性反馈移位寄存器的反馈函数是非线性的

一个级的移位寄存器产生的序列的最大周期为，当然这个最大周期跟反馈函数有很大关系，线性反馈函数实

际上就是这个级的移位寄存器选取“某些位”进行异或后得到的结果，这里的“某些位”的选取很重要，得到线性反馈

函数之后，把这个移位寄存器的每次向右移动一位，把最右端的作为输出，把“某些位”的异或结果作为输入放到最左

端的那位，这样所有的输出对应一个序列，这个序列叫做M序列，是最长线性移位寄存器序列的简称。

上面“某些位”的选取问题还没有解决，那么应该选取哪些位来进行异或才能保证最长周期为，这是一个很重要

的问题。选取的“某些位”构成的序列叫做抽头序列，理论表明，要使LFSR得到最长的周期，这个抽头序列构成的多项

式加1必须是一个本原多项式，也就是说这个多项式不可约，比如。

下面以一个4位的线性反馈移位寄存器为例说明它的工作原理。

如果的值分别是1 0 0 0，反馈函数选取，那么得到如下序列

可以看出周长为15。在这一个周期里面涵盖了开区间内的所有整数，并且都是没有固定顺序出现的，有

很好的随机性。

之前说过，梅森旋转算法的周期为，那么说明它是一个19937级的线性反馈移位寄存器，实际上基于32位

的MT19937-32只需要用到32位，那么为什么要选择周长为的算法呢？ 那是因为这样做随机性很好。

梅森旋转算法是基于线性反馈移位寄存器的一直进行移位旋转，周期为一个梅森素数，果然是名副其实。

梅森旋转算法（Mersenne twister）是一个伪随机数发生算法。由松本真和西村拓士[1]在1997年开发，基于有限二进制字段上的矩阵线性递归。可以快速产生高质量的伪随机数， 修正了古典随机数发生算法的很多缺陷。

梅森旋转算法是R,Python,Ruby,IDL,Free Pascal,PHP,Maple,Matlab,GMP和GSL的默认伪随机数产生器。从C++11开始，C++也可以使用这种算法。在Boost C++,Glib和NAG数值库中，作为插件提供。 在SPSS中，梅森选旋转算法是两个PRNG中的一个：另一个是产生器仅仅为保证旧程序的兼容性，梅森旋转被描述为”更加可靠“。梅森旋转在SAS中同样是PRNG中的一个，另一个产生器是旧时的且已经被弃用。

最为广泛使用Mersenne Twister的一种变体是MT19937，可以产生32位整数序列。具有以下的优点:

有219937 − 1的非常长的周期。在许多软件包中的短周期—232 随机数产生器在一个长周期中不能保证生成随机数的质量。[2
在1 ≤ k ≤ 623的维度之间都可以均等分布(参见定义).
除了在统计学意义上的不正确的随机数生成器以外， 在所有伪随机数生成器法中是最快的(当时)
算法详细

本算法基于标准（线性）旋转反馈移位寄存器（twisted generalised feedback shift register/TGFSR）产生随机数

算法中用到的变量如下所示：
·w：长度（以bit为单位）
·n：递归长度
·m：周期参数，用作第三阶段的偏移量
·r：低位掩码/低位要提取的位数
·a：旋转矩阵的参数
·f：初始化梅森旋转链所需参数
·b,c：TGFSR的掩码
·s,t：TGFSR的位移量
·u,d,l：额外梅森旋转所需的掩码和位移量


MT19937-32的参数列表如下：
·(w, n, m, r) = (32, 624, 397, 31)
·a = 9908B0DF（16）
·f = 1812433253
·(u, d) = (11, FFFFFFFF16)
·(s, b) = (7, 9D2C568016)
·(t, c) = (15, EFC6000016)
·l = 18

MT19937-64的参数列表如下：
·(w, n, m, r) = (64, 312, 156, 31)
·a = B5026F5AA96619E9（16）
·f = 6364136223846793005
·(u, d) = (29, 555555555555555516)
·(s, b) = (17, 71D67FFFEDA6000016)
·(t, c) = (37, FFF7EEE00000000016)
·l = 43
参考链接：

https://github.com/xuwei-k/tinymt

https://en.wikipedia.org/wiki/Mersenne_Twister#TinyMT

http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/MT/TINYMT/JAVA/index.html

https://cs.gmu.edu/~sean/research/mersenne/MersenneTwister.java

https://cs.gmu.edu/~sean/research/mersenne/MersenneTwisterFast.java

http://commons.apache.org/proper/commons-rng/