图的着色

　　已知一个图G和m＞0种颜色，在只准使用这m种颜色对G的结点着色的情况下，是否能使图中任何相邻的两个结点都具有不同的颜色呢？这个问题称为m-着色判定问题。在m-着色最优化问题中，则是求可对图G着色的最小整数m。称m为图G的色数。

　　4种颜色足以对任何地图着色,如图，对一平面图的4-着色判定问题(平面图是一个能画于平面上而边无任何交叉的图)。将地图的每个区域变成一个结点，若两个区域相邻，则相应的结点用一条边连接起来。

　

　　假定用图的邻接矩阵Graph(1:n，1:n)来表示一个图G，其中若(i,j)是G的一条边，则Graph(i,j)=true，否则Graph(i,j)=false。。颜色用整数1,2,…,m表示，解则用n-元组(X(1),…,X(n))来给出，其中X(i)是结点i的颜色。使用递归回溯表示，得到算法MColoring。此算法使用的基本状态空间树是一棵度数为m，高为n+1的树。在i级上的每一个结点有m个孩子，它们与X(i)的m种可能的赋值相对应，1≤i≤n。在n+1级上的结点都是叶结点。

 

找一个图的所有m-着色方案，代码如下：

void MColoring(int k)
//这是图着色的一个递归回溯算法。图G用它的布尔邻接矩阵Graph(1:n，1:n)
//表示。它计算并打印出符合以下要求的全部解，把整数1,2,…,m分配给图中
//各个结点且使相邻近的结点的有不同的整数。k是下一个要着色结点的下标。
int m，n，X[n]；bool Graph[n][n]； // m、n、X[n]定义成全局变量
int k；
while(1) { //产生对X(k)所有的合法赋值。
NextValue(k)； //将一种合法的颜色分配给X[k]
if(X[k]==0) { break；} //没有可用的颜色了
if(k==n) {print(X)；} //至多用了m种颜色分配给n个结点
else {MColoring(k+1)； //所有m-着色方案均在此反复递归调用中产生
}；//while
}//Mcoloring
在最初调用Mcoloring(1)之前，应对图的邻接矩阵置初值并对数组X置0值。
在确定了X(1)到X(k-1)的颜色之后，过程NextValue从这m种颜色中挑选
一种符合要求的颜色，并把它分配给X(k)，若无可用的颜色，则返回X(k)=0。

　　这个算法的计算时间上界可以由状态空间树的内部结点数Σmi（0<i<n-1）得到。在i=0每个内部结点处，为了确定它的子结点所对应的合法着色，由NextValue所花费的时间是О(mn)。因此，总的时间由Σmin=n(mn+1-m)/(m-1)＝О(n*mn)所限界。

 

生成下一种颜色，代码如下：

void NextValue(k) {
//进入此过程前X(1),…,X(k-1)已分得了区域[l,m]中的整数且相邻近的结
//点有不同的整数。本过程在区域[0,m]中给X(k)确定一个值：如果还剩下
//一些颜色，它们与结点k邻接的结点分配的颜色不同，那末就将其中最高
//标值的颜色分配给结点k；如果没剩下可用的颜色，则置 X(k)为0。
int m，n，X[n]；bool Graph[n][n]；// m、n、X[n]定义成全局变量
int j，k；
while(1) {
X[k]=(X[k]+l) mod (m+l)； //试验下一个最高标值的颜色
if(X[k]==0) { return；} //全部颜色用完
for(j=1；j<=n；++j) { //检查此颜色是否与邻近结点的颜色不同
if(Graph[k][j] and X[k]==X[j]) break；
//如果(k,j)是一条边，并且邻近的结点有相同的颜色
}//for
if(j==n+l) return； //找到一种新颜色
}//while //否则试着找另一种颜色//
}// NextValue

 

　　下图给出了一个包含四个结点的简单图。下面是一棵由过程MColoring生成的树。到叶子结点的每一条路径表示一种至多使用3种颜色的着色法；

注意：正好用3种颜色的解只有12种。

 

 

 

 

 

 

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