二分检索

　　现在理论的还是少说些，例子更能理解吧，来个例子用二分检索算法设计与分析，下面算法函数过程bin_search有n+2个输入：a，n 和 x，一个输出j。只要待检索的元素存在，while循环就继续下去。case语句根据compare(x,a[mid])的结果的三种情况进行选择运行。函数过程结束时，如果x不在表a中，则j=0，否则 a(j)=x。

void bin_search(elemType a[]，int n，elemType x，int &j) {
//给定一个按非递减排列的元素数组a(1:n)，n>1，判断x是否出现。
//若是，则置j，使得x=a(j)，若非，则j=0。函数返回j。
int low，high，mid；
low=1；high=n；j = 0；
while(low<=high) {
mid = (low + high) / 2； //mid取不大于(low + high)÷2的整数。
switch(compare(x，a[mid])) {
case ‘<’ : high = mid -1；break； //x小于a[mid]
case ‘>’ : low = mid +1；break； //x大于a[mid]
case ‘=’ : j = mid；return j；break； //x等于a[mid]
}//switch
}//while
return j；
}//bin_search

判断bin_search是否为一个算法，除了上面的描述外，还必须使函数compare(x,a[mid])具有恰当的定义。如果a的元素是整数，实数或字符串，则这些比较运算都可用适当的指令正确完成的。另外，还需判断bin_search是否能终止。关于这一点留待证明算法正确性时回答，但是关于程序正确性的证明，至今为止还是一个尚未解决的课题。

　　bin_search需要的空间很容易确定，它要用n个单元存放数组a[]，还要有存放变量low、high、mid、x和j的5个空间单元。因此所需的空间单元是n+5。至于它的计算时间，则要分别考虑最好、平均和最坏三种情况。

　　下面述说那几个定理吧。

（1）函数过程bin_search(a[]，n，x，j)能正确地运行。

（2）若n在区域［2k-1，2k］中，则对于一次成功的检索，bin_search至多作k次比较；而对于一次不成功的检索，或者作k-1次比较或者作k次比较。这个说明：

最坏情况下的成功或不成功检索的计算时间都是О(log2n)；
最好情况下的成功检索在1级结点处达到，计算时间为Θ(1)；
最好情况下的不成功检索要作log2n次元素比较，所以计算时间是Θ(log2n)。
由于外部结点都在k和k＋1级，因此每种不成功检索的时间都为Θ(log2n)，故
平均情况下不成功检索的计算时间为Θ(log2n)，记为U(n)。

（3） 设A(l：n)含有n(≥1)个不同的元素，且A(1)＜A(2)＜…＜A(n)。又设用以比较为基础的判断x是否在A(l：n)出现的任何算法在最坏情况下所需的最小比较次数是FIND(n)，那么， FIND(n)≥「log2(n+1)」。

关于这个真的是好难呀，笔者觉得要在实践的基础上，练习，加上理论才能深刻了解，在此只是简约的总结一下二分检索的相关知识。