algorithms中计算时间的渐近表示

1.大写Ο符号
大写Ο符号给出了函数f的一个上限。

定义[大写Ο符号]：f(n)＝Ο(g(n))，当且仅当存在正的常数c和n0，使得对于所有的n≥n0，有 f(n)≤c*g(n)

上述定义表明，函数f至多是函数g的c倍，除非n小于n0。因此，对于足够大的n(如n≥n0)，g 是 f 的一个上限(不考虑常数因子 c )。

在为函数 f 提供一个上限函数 g 时，通常使用比较简单的函数形式。比较典型的形式是含有 n 的单个项(带一个常数系数)。对于对数函数logn，没有给出对数的基数，是因为对于任何大于1的常数 a 和 b ，都有：logan＝logbn／logba所以logan和logbn都有一个相对的乘法系数1／logba，其中 a 是一个常量。

 

2. Ω符号
Ω符号给出了函数f的一个下限。

定义[Ω符号]：f(n)＝Ω(g(n))，当且仅当存在正的常数c和n0，使得对于所有的n≥n0，有 f(n)≥c*g(n)。

上述定义表明，函数f至少是函数 g 的 c 倍，除非 n 小于 n0。因此，对于足够大的n(如n≥n0)，g 是 f 的一个下限(不考虑常数因子c )。与大Ο定义的应用一样，通常使用单项形式的 g 函数。g(n)仅是f(n)的一个下限，与大Ο符号的情形类似，也可能存在多个函数g(n)满足f(n)＝Ω(g(n))。

为了使f(n)＝Ω(g(n))更有实际意义，其中的 g(n) 应足够大。因此，有3n＋3＝Ω(n)，6*2n＋n2＝Ω(n2)。而3n＋3＝Ω(l)，6*2n＋n2＝Ω(n)不是所希望的，尽管他们也是正确的。

 

3. Θ符号
Θ符号适用于同一个函数g既可以作为f的上限，也可以作为f的下限的情形。

定义[Θ符号]：f(n)＝Θ(g(n))，当且仅当存在正的常数c1，c2和n0，使得对于所有的n≥n0，有 c1g(n)≤f(n)≤c2g(n)。

定义表明，函数f介于函数g的c1倍和c2倍之间，除非n＜n0。因此对于足够大的n(如n≥n0)， g既是f的上限，也是f的下限(不考虑常数因子c)。与大Ο定义和Ω定义的应用一样，通常仅使用单项形式的g函数。

 

4.小写o符号
定义[小写o]：f(n)＝o(g(n))当且仅当
f(n)＝Ο(g(n))且f(n)≠Ω(g(n))。

 

图3.1列出了一些常用的有关Ο、Ω和Θ的标记，其中，除n以外所有符号均为正常数。图3.1 渐近标记(其中⊕可以Ο、Ω、Θ是之一)

 

图3.2给出了一些关于“和”与“积”的有用的引用规则。对于图3.2的引用规则，大家不难举例验证。

　　在时间或步数的渐近表示中，利用了图3.1和图3.2的结论。注意，首先要知道程序完成什么功能，然后分析程序的执行时间和执行步数，再采用渐近表示记录它们，最后根据图3.1和图3.2得到结果。

　　有时，可以把Ο(g(n))、Ω(g(n))和Θ(g(n))分别解释成如下集合：
Ο(g(n))={f(n)|f(n)=Ο(g(n))}
Ω(g(n))={f(n)|f(n)=Ω(g(n))}
Θ(g(n))={f(n)|f(n)=Θ(g(n))}
在这种解释下，诸如Ο(g1(n))=Ο(g2(n))和Θ(g1(n))=Θ(g2(n))这样的语句就有了明确的含义。因为，此时可以将f(n)=Ο(g(n))读作“f(n)是g(n)的一个大Ο成员”，另外两种的读法也类似。
小写o符号通常用于执行步数的分析。执行步数3n＋Ο(n)表示3n加上上限为n的项。在进行这种分析时，可以忽略步数少于Θ(n)的程序部分。
可以扩充Ο、Ω、Θ和o的定义，采用具有多个变量的函数。例如，
f(m,n)=Ο(g(n，m))当且仅当存在正常量c、n0和m0，使得对于所有的n≥n0和所有的m≥m0，有f(m,n)≤c*g(n，m)。