437. 路径总和 III

给定一个二叉树的根节点 root ，和一个整数 targetSum ，求该二叉树里节点值之和等于 targetSum 的 路径 的数目。

路径 不需要从根节点开始，也不需要在叶子节点结束，但是路径方向必须是向下的（只能从父节点到子节点）。

示例 1：

输入：root = [10,5,-3,3,2,null,11,3,-2,null,1], targetSum = 8
输出：3
解释：和等于 8 的路径有 3 条，如图所示。

> 代码一（树的遍历 + DFS）

求每个节点为根的所有路径。并对符合条件的进行累加

class Solution {
public:
    int ans = 0; 

    void dfs(TreeNode* root, long currSum, int targetSum){
        if (root == nullptr)    return;
        currSum += root->val; 
        if (currSum == targetSum) ans++; 
        dfs(root->left, currSum, targetSum);
        dfs(root->right, currSum, targetSum); 
    }

    int pathSum(TreeNode* root, int targetSum) {
        if (root == nullptr)    return 0; 
        dfs(root, 0, targetSum); 
        pathSum(root->left, targetSum); 
        pathSum(root->right, targetSum);  
        return ans; 
    }
};

> 代码二（前缀和）
前缀和的概念：一个节点的前缀和就是该节点到根之间的路径和。
前缀和的意义：因为对于同一路径上的两个节点，上面的节点是下面节点的祖先节点，所以其前缀和之差即是这两个节点间的路径和（不包含祖先节点的值）。
哈希map的使用：key是前缀和， value是该前缀和的节点数量，记录数量是因为有出现复数路径的可能。
回溯的意义：因为只有同一条路径上的节点间（节点和其某一祖先节点间）的前缀和做差才有意义。所以当前节点处理完之后，需要从map中移除这一个前缀和，然后再进入下一个分支路径。

class Solution {
private:
    unordered_map<long, int> prefix;         // <前缀和，其出现次数>
    void dfs(TreeNode* root, int sum, long cur_sum, int& res)
    {
        if (!root) return;
        cur_sum += root->val;               // 更新前缀和
        // 当前路径中存在以当前节点为终点的和为sum的子路径
        if (prefix.find(cur_sum - sum) != prefix.end())
            res += prefix[cur_sum - sum];
        prefix[cur_sum]++;                  // 将当前节点加入路径
        dfs(root->left, sum, cur_sum, res); // 在其左子树中递归寻找
        dfs(root->right, sum, cur_sum, res);// 在其右子树中递归寻找
        prefix[cur_sum]--;                  // 回溯
    }
public:
    int pathSum(TreeNode* root, int sum) 
    {
        int res = 0;    // 满足条件的路径数量
        prefix[0] = 1;  // 前缀和为0的路径只有一条：哪个节点都不选
        dfs(root, sum, 0, res);
        return res;
    }
};