51. N 皇后

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

输入：n = 4
输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

> 我的解法

class Solution {
private:
    void change_flag(int n, int tuple, int column, int flag) { 
        //当前列
        for (int i = tuple; i < n; i++) {
            n_map[i][column] += flag;
        }
        int i, j;
        i = tuple;
        j = column;
        //左下斜线
        while ((i >= 0) && (i < n) && (j >= 0) && (j < n)) {
            n_map[i++][j--] += flag;
        }
        i = tuple;
        j = column;
        //右下斜线
        while ((i >= 0) && (i < n) && (j >= 0) && (j < n)) {
            n_map[i++][j++] += flag;
        }
    }
    void N_queen(const int n, int tuple) {
        //终止条件
        if (tuple > n) return;
        if (tuple == n) {
            res.emplace_back(path);
            return;
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (!n_map[tuple][i]) {
                //放置棋子
                string tmp(n, '.');
                tmp[i] = 'Q';
                path.emplace_back(tmp);
                //改变n_map
                change_flag(n, tuple, i, 1);
                //进入下一层递归
                N_queen(n, tuple + 1);
                //回溯 
                change_flag(n, tuple, i, -1);
                path.pop_back();
            }
        }
    }
public:
    vector<vector<string>> res;
    vector<vector<int>> n_map;
    vector<string> path;
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        vector<int> vec(n, 0);
        n_map = vector<vector<int>>(n, vec);
        N_queen(n, 0);
        return res;
    }
};

> 标准解法

class Solution {
private:
vector<vector<string>> result;
// n 为输入的棋盘大小
// row 是当前递归到棋盘的第几行了
void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard) {
    if (row == n) {
        result.push_back(chessboard);
        return;
    }
    for (int col = 0; col < n; col++) {
        if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放
            chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
            backtracking(n, row + 1, chessboard);
            chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后
        }
    }
}
bool isValid(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n) {
    // 检查列
    for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝
        if (chessboard[i][col] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    // 检查 45度角是否有皇后
    for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {
        if (chessboard[i][j] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    // 检查 135度角是否有皇后
    for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
        if (chessboard[i][j] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        result.clear();
        std::vector<std::string> chessboard(n, std::string(n, '.'));
        backtracking(n, 0, chessboard);
        return result;
    }
};