聊聊GIS中那些坐标系
从第一次上地图学的课开始，对GIS最基本的地图坐标系统就很迷。也难怪，我那时候并不是GIS专业的学生，仅仅是一门开卷考试的专业选修课，就没怎么在意。
等我真正接触到了各种空间数据产品，我才知道万里长征第一步就是：处理坐标系统。
想必各位从业人员多多少少都会听说过几个名词，可能有那么点印象吧。比如，高斯克吕格，北京54，西安80，WGS84，投影坐标系统等等。
今天就从头说起，讲讲那些坐标系统的事情。
惯例，给个目录：
- 经纬度与GCS（Geographic Coordinate System, 地理坐标系统）
- 平面坐标与PCS（Projection Coordinate System, 投影坐标系统）
- GCS和PCS的转化问题（三参数与七参数问题）
- 火星坐标问题
- 在第一部分，我介绍一下以经纬度为准的地理坐标系统，也顺带提及一下我国的高程坐标系。主要涉及的内容有：大地水准面问题，椭球问题，常见的GCS（如北京54，西安80，CGCS2000，WGS84等），让大家看到GIS数据中的GCS马上就能知道这是什么东西。
- 在第二部分，我介绍一下以平面直角坐标系为量度的投影坐标系统。主要涉及的内容有：PCS与GCS的关系，我国常见的PCS（高斯克吕格、兰伯特/Lambert、阿尔伯斯Albers、墨卡托Mercator、通用横轴墨卡托UTM、网络墨卡托Web Mercator）。
- 在第三部分，是实际操作过程中遇到的种种问题，如投影不对会出现什么情况、如何转换GCS、如何切换PCS（重投影问题）等问题，涉及一些数学转换的思维，需要有一定的空间想象能力。
- 在第四部分，我简单介绍一下所谓的火星坐标。
那么我们开始吧！
1. 经纬度与GCS
天气预报也好，火箭发射也罢，地震、火山等事故发生时，电视台总会说东经XX度，北纬YY度。这个经纬度中学地理就学过了，我就不细说了。
我从如何描述地球说起。
1.1 凹凸不平的地球
谁都知道地球表面不平坦，它甚至大概形状都不是一个正球体，是一个南北两极稍扁赤道略胖的胖子，胖度大概是20km，在外太空几乎看不出来的，这也可能和星球长期受到潮汐引力、太阳引力以及自身旋转的向心力有关。这里不是地球科学，就不再深究了。
为了能让地球出现在数学家的公式里，我们曾经走过了2个阶段：用平静的海面描述地球——用虚拟的旋转椭球面描述地球表面。
这里也不是地图学，再深入下去其实还有似大地水准面等概念。就挑重点讲。
“假设地球表面都是水，当海平面风平浪静没有波澜起伏时，这个面就是大地水准面。”大家应该知道，在太空失重的环境下，水相对静止状态是个正球体，那么肯定很多人就认为，大地水准面就是个正球面。不是的，还需要考虑一个问题：地球各处的引力不同。引力不同，就会那儿高一些，这儿低一些，尽管这些微小的差距肉眼难以观测出来，可能隔了好几千米才会相差几厘米。所以，在局部可能看起来是个球面，但是整体却不是。显然，用大地水准面来进行数学计算，显然是不合适的，至少在数学家眼中，认为这不可靠。
所以找到一个旋转椭球面就成了地理学家和数学家的问题。（注意区分椭球面和旋转椭球面这两个数学概念，在GCS中都是旋转椭球面）
给出旋转椭球面的标准方程：
(x2+y2)/a2+z2/b2=1
其中x和y的参数相同，均为a，这就代表一个绕z轴旋转的椭圆形成的椭球体。不妨设z轴是地球自转轴，那么这个方程就如下图是一个椭球体，其中赤道是个圆。
这样，有了标准的数学表达式，把数据代入公式计算也就不是什么难事了。
由此我们可以下定义，GIS坐标系中的椭球，如果加上高程系，在其内涵上就是GCS（地理坐标系统）。其度量单位就是度分秒。
描述一个旋转椭球面所需的参数是方程中的a和b，a即赤道半径，b即极半径，f=(a-b)/a称为扁率。
与之对应的还有一个问题：就是坐标中心的问题。（地球的中心在哪里？）
【注】十九世纪发现赤道也是一个椭圆，故地球实际应以普通椭球面表示，但是由于各种原因以及可以忽略的精度内，一直沿用旋转椭球体作为GCS。
1.2 参心坐标系、地心坐标系
上过中学物理的人知道，物体均有其质心，处处密度相等的物体的质心在其几何中心。所以，地球只有一个质心，只是测不测的精确的问题而已。由地球的唯一性和客观存在，以地球质心为旋转椭球面的中心的坐标系，叫地心坐标系，且唯一。当然，由于a、b两个值的不同，就有多种表达方式，例如，CGCS2000系，WGS84系等，这些后面再谈。
【注】地心坐标系又名协议地球坐标系，与GPS中的瞬时地球坐标系要对应起来。
但是又有一个问题——政治问题，地图是给一个国家服务的，那么这地图就要尽可能描述准确这个国家的地形地貌，尽量减小误差，至于别国就无所谓。
所以，就可以人为的把地球的质心“移走”，将局部的表面“贴到”该国的国土，使之高程误差尽量减小到最小。
这个时候，就出现了所谓的“参心坐标系”。即椭球中心不在地球质心的坐标系。如下图：
绿色的球就是为了贴合赤道某个地方而产生了平移的参心系（这里只是个例子，而且画的有点夸张）。
我国常用的参心系及对应椭球：
- 北京54坐标系：克拉索夫斯基椭球体
- 西安80坐标系：IAG75椭球体
我国常用的地心系及对应椭球：
- WGS84坐标系：WGS84椭球体（GPS星历的坐标系，全球统一使用，最新版于2002年修正）
- CGCS2000坐标系：CGCS2000椭球体（事实上，CGCS2000椭球和WGS84椭球极为相似，偏差仅有0.11mm，完全可以兼容使用）
为什么CGCS2000和WGS84要略微有些偏差？这是因为WGS84系是GPS的坐标系，而我国北斗定位则是需要自己的坐标系，就搞了一波CGCS2000。
这几个坐标系的介绍放在下一节，而这些椭球体的转换将在第三部分介绍（主要就是数学中，空间直角坐标系旋转的问题）。
1.3 我国常见GCS
借助以下4个常见坐标系及椭球体，就可以推及到世界各地不同的GCS及椭球体，完成数据的转化问题。
1.3.1 北京54坐标系（参心）
新中国成立以后，我国大地测量进入了全面发展时期，再全国范围内开展了正规的，全面的大地测量和测图工作，迫切需要建立一个参心大地坐标系。由于当时的“一边倒”政治趋向，故我国采用了前苏联的克拉索夫斯基椭球参数，并与前苏联1942年坐标系进行联测，通过计算建立了我国大地坐标系，定名为1954年北京坐标系。因此，1954年北京坐标系可以认为是前苏联1942年坐标系的延伸。它的原点不在北京而是在前苏联的普尔科沃。
- 椭球体：Krasovsky椭球
- 极半径b=6 356 863.0187730473 m
- 赤道半径a=6 378 245m
- 扁率=1/298.3
- 高程系：56黄海系
1.3.2 西安80坐标系（参心）
改革开放啦，国家商量要搞一个更符合国用的坐标系——西安80坐标系，该坐标系的大地原点设在我国中部的陕西省泾阳县永乐镇，位于西安市西北方向约60公里。
- 椭球体：IAG椭球（全名是啥还得去翻翻课本。。。）
- 极半径b=6 356 755m
- 赤道半径a=6 378 140m
- 扁率=1/298.25722101
- 高程系：85黄海系
1.3.3 WGS84坐标系（地心）
全称World Geodetic System - 1984，是为了解决GPS定位而产生的全球统一的一个坐标系。
- 椭球体：WGS84椭球
- 极半径b=6 356 752.314 245 179 5m
- 赤道半径a=6 378 137 m
- 扁率=1/298.257223563
- 高程系：？根据国家需求定？
1.3.4 CGCS2000坐标系（地心）
2000国家大地坐标系是全球地心坐标系在我国的具体体现，其全称为China Geodetic Coordinate System 2000，其原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心。
- 椭球体：CGCS2000坐标系
- 极半径b=6 356 752.314 140 355 8m
- 赤道半径a=6 378 137m
- 扁率=1/298.257222101
- 高程系：85黄海系
【注】CGCS2000的定义与WGS84实质一样。采用的参考椭球非常接近。扁率差异引起椭球面上的纬度和高度变化最大达0.1mm。当前测量精度范围内，可以忽略这点差异。可以说两者相容至cm级水平
最后一张表总结一下：
有趣的是，在ArcGIS的GCS文件夹下，找到了一个“新北京54坐标系”，这是为了使54和80之间方便转化而产生的一个过渡坐标系。
2. 平面坐标与PCS
说完了以经纬度为计量单位的GCS，那么我再来说说以平面（空间）直角坐标系为度量衡的投影坐标系（PCS，Projection Coordinate System）。
说一个具体的问题以解释为什么要用PCS。
如何用经纬度表达一块地的面积？
这没办法吧？经纬度本身不带单位，度分秒仅仅是一个进制。
而且同样是1度经度，在不同的纬度时代表的弧段长是不一样的。
这就给一些地理问题带来了困惑：如何建立一个新的坐标系使得地图分析、空间分析得以定量计算？
PCS——投影坐标系就诞生了。
我要着重介绍一下我国的6种常用投影方式：
- 高斯克吕格（Gauss Kruger）投影=横轴墨卡托（Transverse Mercator）投影
- 墨卡托（Mercator）投影
- 通用横轴墨卡托（UTM）投影
- Lambert投影
- Albers投影
- Web Mercator（网络墨卡托）投影
很多课本、博客都写的很详细了，我想从3D的图形来描述一下他们是怎么个投影的。
2.1 从投影说起
如上图。光线打到物体上，使得物体产生的阴影形状，就叫它的投影。这个不难理解。
这里我想问一个问题：既然投影物体，是不变的，那么我把投影的平面改为曲面呢？
这就产生了不同的投影，比如投射到一个圆锥面上，一个圆柱面上，一个平面上...等等。
不同的投影方式有不同的用途，也有了不同的投影名称。
但是，PCS是基于存在的GCS的，这个直接规定。没有GCS，就无从谈PCS，PCS是GCS上的地物投射到具体投影面的一种结果。
即：
PCS=GCS+投影方式
2.2 我国常见投影
2.2.1 高斯克吕格投影/横轴墨卡托投影
英文名Gauss Kruger。在一些奇奇怪怪的原因中，又名横轴墨卡托投影，英文名Transverse Mercator。
它的投影面是椭圆柱面，假设椭圆柱躺着，和地轴垂直，而且投影面与之相切，就是横轴墨卡托了。
中央那条黑线就是投影中心线，与椭圆柱面相切。这条线逢360°的因数就可以取，一般多用3度带、6度带。
就是说，这个投影椭圆柱面可以继续绕着地轴继续转，图中还有一条经线，两条相差6度。
椭圆柱面旋转6度，继续投影，直到360/6=60个投影带投影完毕。
注意3度带和6度带的起算经线不同，以及Y方向（赤道方向）前需要加投影带号。
高斯克吕格已经广为熟知了，我就不作具体介绍，大家可以找比我解释的更好的，我只是摆个图希望大家看的更仔细。
这个投影的特点是，等角/横/切椭圆柱/投影。
即
- 投影后的地图，角度不变，面积有变。离中央经线越远的地区，面积变化越大。此投影合适用于导航。
- 投影椭圆柱面是横着的；
- 投影椭圆柱面与椭球体相切。
适用比例尺：1：2.5万~1：100万等使用6度分带法；1：5000~1：10000使用3度分带法。
【注】在ArcGIS中，不同的GCS的PCS是不同的，以CGCS2000、西安80和北京54为例：
CGCS2000_3_Degree_GK_CM_111E：CGCS2000的GCS下，使用高斯克吕格3度分带法，以中央经线为东经111度的投影带的投影坐标系
CGCS2000_3_Degree_GK_Zone_30：CGCS2000的GCS下，使用高斯克吕格3度分带法，第30个投影带的投影坐标系
Beijing_1954_3_Degree_GK_CM_111E：北京54的GCS下，使用高斯克吕格3度分带法，以中央经线为东经111度的投影带的投影坐标系
Beijing_1954_3_Degree_GK_Zone_35：北京54的GCS下，使用高斯克吕格3度分带法，第35个投影带的投影坐标系
Xian_1980_3_Degree_GK_CM_111E：西安80的GCS下，使用高斯克吕格3度分带法，以中央经线为东经111度的投影带的投影坐标系
Xian_1980_3_Degree_GK_Zone_34：西安80的GCS下，使用高斯克吕格3度分带法，第34个投影带的投影坐标系
不难发现，都是以GCS起头的命名法。
2.2.2 墨卡托投影
英文名Mercator投影。
数学上，投影面是一个椭圆柱面，并且与地轴（地球自转轴）方向一致，故名：“正轴等角切/割圆柱投影”。
既可以切圆柱，也可以割圆柱。
其实就是高斯克吕格的圆柱面竖起来。
2.2.3 通用横轴墨卡托投影（UTM投影）
英文全称Universal Transverse Mercator。是一种“横轴等角割圆柱投影”
和高斯克吕格类似，高斯克吕格的投影面是与椭球面相切的，这货与椭球面相割。
实质上
- UTM投影=0.9996高斯投影
其余性质都和高斯克吕格投影一样。
割于纬度80°S和84°N。中央经线投影后，是原长度的0.9996倍。
不过，起算投影带是180°经线，174°W则是第二个投影带的起算经线。
由于有以上优点，UTM投影被许多国家和地区采用，作为大地测量和地形测量的投影基础。
【注】UTM投影是我国各种遥感影像的常用投影。
【注2】UTM投影在ArcGIS中的定义
例如：
WGS_1984_UTM_Zone_50N，就代表WGS1984的GCS下，进行UTM投影，投影带是50N.
WGS_1984_Complex_UTM_Zone_25N，就代表WGS1984的GCS下，进行3度分带UTM投影，投影带是25N.
2.2.4 Lambert投影
中文名兰伯特投影、兰博特投影。
我国地形图常用投影，比如1：400万基础数据：
（GCS是北京54）可以看到授权是自定义，说明这个投影是自定义的，没有被官方收录。等到第三部分再说怎么自定义投影。
我国的基本比例尺地形图(1:5千，1:1万，1:2.5万，1:5万，1:10万，1:25万，1:50万，1:100万)中，1:100万地形图、大部分省区图以及大多数这一比例尺的地图多采用Lambert投影。
兰伯特投影是一种“等角圆锥投影”。
ArcGIS中的投影系一般带有Lambert_Conformal_Conic等字样，国际上用此投影编制1∶100万地形图和航空图。
它就像是一个漏斗罩在乒乓球上：
更标准的画法，见下图，有切和割两种。
它没有角度变形。
这个漏斗的倾斜程度，就有三种：正轴、横轴、斜轴。就是圆锥的方向和地轴的方向的问题。
2.2.5 Albers投影
中文名阿伯斯投影。又名“正轴等积割圆锥投影”，常用于我国各省市的投影。
和上一个兰伯特图形类似，就是一个圆锥与椭球面切割，进行等积投影。
给了官方WKID：102025.
与Lambert投影的区别大概就在一个等角，一个等积投影了。
2.2.6 Web墨卡托（WebMercator投影）
这是一个由Google提出的、为了自家GoogleMap而专门定义的一种投影，是墨卡托投影的一种变种。
主要是将地球椭球面当作正球面来投影，这就会导致一定的误差。
直接看看ArcGIS中的定义：
给了WKID：3857，名字是WGS_1984_Web_Mercator_Auxiliary_Sphere，意思就是在WGS84的GCS下进行web墨卡托投影。
现在，经常被百度地图等网络地图采用，估计是Web程序员想省事吧。
3. GCS与PCS的转换问题（ArcGIS实现）
3.1 GCS转GCS
这就是属于空间解析几何里的空间直角坐标系的移动、转换问题，还有个更高级的说法——仿射变换。
我们知道，空间直角坐标系发生旋转移动缩放，在线性代数里再常见不过了。在摄影测量学中，旋转矩阵就是连接像空间辅助坐标系与像空间坐标系的转换参数（好像不是这俩坐标系，忘了）
欲将一个空间直角坐标系仿射到另一个坐标系的转换，需要进行平移、旋转、缩放三步，可以无序进行。
而平移、旋转又有三个方向上的量，即平移向量=（dx,dy,dz）和旋转角度（A,B,C），加上缩放比例s，完成一个不同的坐标系转换，就需要7参数。
我们知道，地心坐标系是唯一的，即原点唯一，就说明平移向量是0向量，如果缩放比例是1，那么旋转角度（A,B,C）就是唯一的仿射参数，即3参数。
上图左图为坐标系平移，右图为坐标系旋转。缩放可以在任意阶段进行。
——————以上为理论预备——————
说了这么多理论，如何进行GCS转换呢？假设一个数据源已经有了GCS，我们需要做的操作只有一个：
打开如下工具：数据管理工具/投影和变换/投影，设置界面如下（以WGS1984转西安80为例）：
别选错了，这里输入输出都是GCS。然后出现以下警告：
这就告诉你，需要参数转换。在这里，WGS84转西安80，是属于7参数转换（地心转参心），但是缺少7参数，就需要自己去测绘局买或者自己粗略算。
那么如何定义一个地理坐标变换呢？
使用投影的旁边的工具：
即可。见下图：
使用Position_Vector方法（即7参数法）即可输入7参数。我就不输入了，各位有数据的可以继续做。
关于3参数和7参数，在ArcGIS帮助文档里都写有的，目录如下：
3.2 GCS进行投影
这个就更简单了。
随便挑个GCS，喜欢什么用什么，如西安80投影到UTM投影，都可以的。
仍然是上节提及的“投影工具”：
这样就可以了，这里是以WGS84的GCS投影到UTM的第50分度带上。
如果是进行栅格数据的投影，就用“栅格”文件夹下的“投影栅格”工具。
如果所需投影系没有自己需要的GCS，就自定义一个：
这个窗口在Catalog浮动窗或者Catalog软件里打开某个数据的属性，找到XY坐标系的选项卡，就可以新建。
【注】如果在数据的属性页的XY坐标系选项卡，或者图层数据框的XY坐标系选项卡中修改GCS，这仅仅是改个名，坐标值还是原来的坐标系上的，这代表老坐标值并没有转换到新坐标系上。形象的说，就是换汤不换药，这是不对的。我这里说的用投影的方法，才是真正的坐标仿射变换到新的坐标系，使之更改数值，形成在新的坐标系下的新坐标值。
3.3 PCS转PCS（重投影）
最常见的就是下载了谷歌影像图，是Web墨卡托的投影，但是实际又需要高斯投影，那么基于WGS84这个GCS，就可以进行重投影。
在这里，我就以UTM投影转Web墨卡托投影为例：
这次是用“栅格”文件夹下的“投影栅格”工具：
一般选好红框的三个参数即可。
如果仍然提示需要地理坐标变换的警告，说明不是一个GCS的数据，需要3参数或者7参数转换。
栅格数据类似，使用“投影工具”。
工具定位。
3.4 定义投影
这不是定义一个投影坐标系，而是给有坐标值的矢量或者栅格数据添加一个投影坐标系而已。
使用“定义投影”工具即可，既可以定义GCS，也可以定义PCS（这软件的中文翻译有点毛病）。
3.5 地理配准与空间校正
这个就不多说了，地理配准就是使屏幕坐标系的扫描地图仿射、二次三次变换到真正投影坐标系的过程，自动加上目标数据的PCS。有了PCS后就会自动加上GCS。
地理配准主要是针对栅格数据。
空间校正则是针对矢量数据进行仿射、二次、三次变换。
3.6 可能出现的错误
3.6.1 显示几十万位数字的“经纬度”
如上图。
这是有了PCS后，在Catalog的数据属性页的XY坐标系选项卡里，选中GCS，然后应用的结果。
原本是方里网的数字，变成了GCS才有的度分秒。
解决方法：Catalog属性页将GCS改回原来的PCS即可。
3.6.2 显示三位数、两位数的“米”
这个暂时没找到案例，曾经见过。
3.6.3 显示一个几乎是0，一个又很大很大位数的数字
如上图。
这个属于数据本身有GCS，但是在Catalog的XY坐标系选项卡里给它添加PCS然后应用后，可能会出现的错误。
解决方法：在Catalog属性页的XY坐标系选项卡里，选中原来的GCS然后应用即可。
如果数据本身没有PCS，应该做的是投影操作。
3.6.4 大范围的数据给了小范围的投影
例如，整个中国地图理应跨越好几个投影带，却给了某一个投影带的投影坐标系，这就会出现负值。如下图，红框箭头是鼠标的位置。
这个按理说应该用兰伯特投影，但是却给了一个UTM第49区的PCS，所以在中央经线靠左很多的位置会出现负值。
解决方法：这个直接做重投影即可。
以上四种错误比较常见，但是手头没有案例，以后遇到再发上来吧。
总结一下：
4. 火星坐标
火星坐标这个东西很常见，出现在互联网地图上。例如百度、腾讯、谷歌等地图。
出于保密等政治因素，地图的GCS坐标值，会被一种特殊的数学函数加密一次，会偏离真实坐标数百米的距离，但是反馈到用户端的却是正确的位置信息（也就是说你拿到GCS坐标也没用，拿GPS到实地跑跟拿着地图定位，可能会偏出几十米甚至一百米的距离）。
火星坐标系原名国测局坐标系（GCJ-02），有篇文章比我写的透彻多了，甚至给出了还原代码，我放到参考资料了，有兴趣的可以看看。
