差分数组

一、定义：对于n个元素的数组a，建立记录它每一项与前一项差值的差分数组d，d[i]=a[i]-a[i-1],特别的：d[0]=a[0]-0=a[0];

 

二、简单性质：

　　1.计算数列a各项的值， a[i]=d[i]的前缀和。

　　2.计算数列a各项的前缀和，

　　令数列a的第x项的前缀和为sum[x];

　　因为

　　　　sum[x]=∑(i=1:x)a[i];

　　　　a[i]=∑(j=1:x)d[i];

　　所以

　　　　sum[x]=∑(i=1:x)(x-i+1)d[i]; 

 

三、用途：

　　1.快速处理区间加减操作:

　　对数列区间[L,R]中的每个数加上x，我们通过性质(1)知道，第一个受影响的差分数组中的元素为d[L],即令d[L]+=x，那么后面数列元素在计算过程中都会加上x；

　　最后一个受影响的差分数组中的元素为d[R],所以令d[R+1]-=x，即可保证不会影响到R以后数列元素的计算。

　　这样我们不必对区间内每一个数进行处理，只需处理两个差分后的数即可；

　　2.询问区间和问题：

　　由性质(2)我们可以计算出数列各项的前缀和数组sum各项的值；那么显然，区间[L,R]的和即为ans=sum[R]-sum[L-1];