HDU 5564：Clarke and digits 收获颇多的矩阵快速幂 + 前缀和

Clarke and digits

 

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问题描述

克拉克是一名人格分裂患者。某一天，克拉克变成了一个研究人员，在研究数字。  
他想知道在所有长度在$[l,r]$之间的能被$7$整除且相邻数位之和不为$k$的正整数有多少个。  

输入描述

第一行一个整数$T(1\le T\le 5)$，表示数据的组数。  
每组数据只有一行三个整数l, r, k(1 \le l \le r \le 10^9, 0 \le k \le 18)l,r,k(1≤l≤r≤10​9​​,0≤k≤18)。  

输出描述

每组数据输出一行一个数，表示答案。由于答案太大，你只需对10^9+710​9​​+7取模即可。  

输入样例

2
1 2 5
2 3 5

输出样例

13
125

Hint

第一个样例有13个数满足，分别是：$7,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98$

这个题目看着题解想了一天，收获特别多多多多。

一开始刚看这个题目的时候想法是dp, dp[i][j][k]表示长度为i，最后一位为j，余数为k的个数。

然后转移方程就是 dp[i+1][x][(j*10+x)%7] += dp[i][j][k] (x从0到9)。这样不行因为R太大，每次求一定TLE。我当前的水平就想到这里了。。。

然后就是学习了。。。

学习点之一：发现当前最后一位j与当前的余数k，其状态数就70个。有趣的是，其状态转移是确定的，即是一个70*70的矩阵，这样我们对长度为X的数，我们先求长度为1的矩阵A，再将A*转移方程B^(X-1)。然后就是矩阵中的[0][0^9]的和。(表示余数为0，末尾数字是0~9)。然后矩阵的多少次方就可以用快速幂来求。

学习点之二：注意这样求的是长度为X的数。我们现在想求的是长度为1到长度为X的数，这样对于[L,R]来说，直接相减就好了。所以就想求A、A*B、A*B^2、A*B^3、。。。这样的前缀和。

之前求矩阵的前缀和求过这样的B、B^2、B^3、B^4。。。。可以用分治法来求。

但这样的我就不知道怎么搞了。

结果题解上是加了一列matrix[0^9][70]=1，并且matrix[70][70]=1。

这样当我们求A*(B^R)的时候，res.matrix[0][70]表示的就是前缀和矩阵的所有和。这块做法太亮了，太亮了。之前没有玩过这种方法。

附加学习点之三：friend Matrix operator ^(Matrix A, int n);这块调用了A矩阵，其值发生了变化，每一个test需要重置一下B矩阵。

最后想通的感觉特别痛快。

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstring>
#pragma warning(disable:4996)
using namespace std;

const int maxn = 71;
const int mod = 1e9 + 7;

struct Matrix
{
	int mat[maxn][maxn];
	Matrix()
	{
		memset(mat, 0, sizeof(mat));
	}
	void clear(){ memset(mat, 0, sizeof(mat)); }
	friend Matrix operator *(const Matrix &A, const Matrix &B);
	friend Matrix operator ^(Matrix A, int n);
};

Matrix res1, res2;

Matrix operator *(const Matrix &A, const Matrix &B)
{
	Matrix ret;
	for (int i = 0; i < maxn; i++)
	{
		for (int j = 0; j < maxn; j++)
		{
			for (int k = 0; k < maxn; k++)
			{
				ret.mat[i][j] = (ret.mat[i][j] + (1LL*A.mat[i][k] * B.mat[k][j]) % mod) % mod;
			}
		}
	}
	return ret;
}

Matrix operator ^(Matrix A, int n)
{
	Matrix ret;
	for (int i = 0; i < maxn; i++)
	{
		ret.mat[i][i] = 1;
	}
	for (; n; n >>= 1, A = A*A)
		if (n & 1)
			ret = ret*A;
	return ret;
}

inline int statu(int i, int j)
{
	return i * 10 + j;
}

int main()
{
	//freopen("i.txt","r",stdin);
	//freopen("o.txt","w",stdout);
	
	int t;
	int i, j, L, R, K, x;
	
	Matrix A, B;
	for (i = 1; i < 10; i++)
		A.mat[0][statu(i % 7, i)] = 1;

	scanf("%d", &t);
	while (t--)
	{
		scanf("%d%d%d", &L, &R, &K);

		B.clear();
		for (i = 0; i < 7; i++)
		{
			for (j = 0; j < 10; j++)
			{
				for (x = 0; x < 10; x++)
				{
					if (j + x != K)
					{
						B.mat[statu(i, j)][statu((i * 10 + x) % 7, x)] = 1;
					}
				}
			}
		}

		for (i = 0; i < 10; i++)
			B.mat[i][maxn - 1] = 1;
		B.mat[maxn - 1][maxn - 1] = 1;
		
		res1 = A*(B^R);
		res2 = A * (B ^ (L - 1));
		printf("%d\n", (res1.mat[0][maxn - 1] - res2.mat[0][maxn - 1] + mod) % mod);
	}
	//system("pause");
	return 0;
}