POJ 1061：青蛙的约会

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

题意就是解一个方程，即(x+m*t)-(y+n*t)=p*L。求满足方程的最小t。将方程变换为(n-m)*t+p*L=x-y。这个方程里面x,y,n,m都已知。

一开始不知道扩展欧几里得的方法，就一直遍历判断看能不能有符合条件的数值，提交了44次还是TLE。。。

(摘自百度百科)扩展欧几里德：

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。

欧几里德算法

概述

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：gcd函数就是用来求(a,b)的最大公约数的。gcd函数的基本性质：gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

公式表述

gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r。因此d是(b,a mod b)的公约数。

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b , d |r ，但是a = kb +r，因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

C++语言实现

<span style="font-size:12px;">#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int x,y,q;
void extend_Eulid(int a,int b){
if(b==0){
x=1;y=0;q=a;
return;
}
extend_Eulid(b,a%b);
int temp=x;
x=y;
y=temp-a/b*y;
}
int main(){
int a,b;
cin>>a>>b;
extend_Eulid(a,b);
printf("%d=(%d)*%d+(%d)*%d\n",q,x,a,y,b);
return 0;
}</span>

扩展算法

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

c++语言实现

<pre name="code" class="html">int exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(a==0)
    {
        x=0;y=1;
        return b;
    }
    else
    {
        ll tx,ty;
        ll d=exgcd(b%a,a,tx,ty);
        x=ty-(b/a)*tx;
        y=tx;
        return d;
    }
}

求解 x，y的方法的理解

设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，ab<>0 时

设 ax₁+ by₁= gcd(a,b);

bx₂+ (a mod b)y₂= gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

则:ax₁+ by₁= bx₂+ (a mod b)y₂;

即:ax₁+ by₁= bx₂+ (a - [a / b] * b)y₂=ay₂+ bx₂- [a / b] * by₂;

也就是ax₁+ by1 == ay₂+ b(x₂- [a / b] *y₂);

根据恒等定理得：x₁=y₂; y₁=x₂- [a / b] *y₂;

这样我们就得到了求解 x₁,y₁ 的方法：x₁，y₁ 的值基于 x₂，y₂.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

long long d;

void ex_gcd(long long a,long long b,long long &xx,long long &yy)
{
	if(b==0)
	{
		xx=1;
		yy=0;
		d=a;//d为求出来的a,b的最小公约数
	}
	else
	{
		ex_gcd(b,a%b,xx,yy);
		
		long long t=xx;
		xx=yy;
		yy=t-(a/b)*yy;
	}
}

int main()
{
	long long x,y,m,n,L,xx,yy;
	cin>>x>>y>>m>>n>>L;

	ex_gcd(n-m,L,xx,yy);

	if((x-y)%d)//如果方程等式右边不能除以最小公约数，说明该方程没有解。
	{
		cout<<"Impossible"<<endl;
	}
	else
	{
		xx=xx*((x-y)/d);//求出的xx,yy是方程等于最小公约数时的解，这时要将解扩大为(x-y)*d倍。
        long long r=L/d;
        xx=(xx%r+r)%r;//此处求解的最小值
        cout<<xx<<endl;
	}
	system("pause");
	return 0;
}

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