51nod 1438：方阵与完全平方数
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如果一个由正整数组成的n*n的方阵，满足以下条件：
1，每个数字各不相同
2，每行以及每列的和，都是互不相同的完全平方数
我们称这种方阵为超级完全平方数方阵。
输入n，输出一个n*n的超级完全平方数方阵。如果存在多个方阵满足条件，输出将所有元素按行、列顺序排列后字典序最小的一个答案。例如
n=3时，下面两个方阵都符合条件
1 2 6
3 4 9
21 30 49
21 30 49
3 4 9
1 2 6
按行、列顺序排列后，第一个方阵表示为[1, 2, 6, 3, 4, 9, 21, 30, 49]，第二个方阵表示为[21, 30, 49, 3, 4, 9, 1, 2, 6]。第一个方阵字典序更小一些。
如果不存在这样的方阵，输出No Solution。
Input
仅一行，为一个正整数n。（1 <= n <= 64）
Output
输出n行，每行为n个整数，之间用空格隔开，表示所求的n*n方阵。或者，输出No Solution。
Input示例
3
Output示例
1 2 6 3 4 9 21 30 49
真真正正地被虐了一下午。。。其实本质上就是一个dfs，但是做起来是真的麻烦啊，各种错误百出的。
官方题解：
首先，n=1时无解。
接下来处理n>=2的情况。由于题目要求字典序最小的方阵，使用贪心算法的思想，不难发现，每一行每一列其实只需要依靠最后一个数字（最右边和最下边的数字）就足够使得该行该列的和达到一个没有使用过的完全平方数。因此，按照题目中对方阵序列化的次序，对无关紧要的位置都尽力使用最小的数字；每当到达一行的最后一个位置，或者最后一行的时候，再去寻找符合题目要求的最后一个数字。这样做直到右下角的最后一个位置。
此时，最后一行和最后一列都需要满足和为完全平方数的条件。搜索最小的符合条件的数字。如果找不到解，就加大倒数第二个位置的数字（因为这样做对字典序的影响最小），再重新搜索最后一个位置。
怎样快速发现最后一个位置找不到解呢？不难发现，最后一列的和必定小于最后一行的和，设它们的差为d。我们可以枚举较小的一个完全平方数x，如果发现x的下一个完全平方数与x的差已经大于d，则在最后一个位置无解。
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#pragma warning(disable:4996)
using namespace std;
int n,wang=0;
int square_flag[10000];
int val_flag[64005];
long long val[70][70];
int sear(int su)
{
long long i;
for (i = 2; ; i++)
{
if (i*i >= su && ((i<=9999&&square_flag[i]==0)||(i>9999)))
return i;
}
}
void dfs(int x,int y,long long value)
{
if (wang==1)
{
return;
}
if (x == n&&y == n)
{
long long i, j, h, k, sum2 = 0, sum3 = 0;
for (i = 1; i <= n - 1; i++)
{
sum2 += val[i][y];
}
for (i = 1; i <= n - 1; i++)
{
sum3 += val[x][i];
}
for (i = 2;; i++)
{
if ((i <= 9999 && square_flag[i] == 1))continue;
double g = sqrt((double)(i*i - sum2 + sum3));
if (i*i - sum2 > 0 && g == (long long)g && ((g<=9999)&&(square_flag[(long long)g] == 0)||g>9999))
{
val[x][y] = i*i - sum2;
for (h = 1; h <= n; h++)
{
for (k = 1; k <= n; k++)
{
cout << val[h][k]<< " ";
}
cout << endl;
}
wang = 1;
return;
}
long long wa = sum3 - sum2;
if ((i + 1)*(i + 1) - (i*i) > wa)
{
long long op, sum_op = 0;
for (op = 1; op <= n; op++)
{
sum_op += val[op][y - 1];
}
square_flag[(long long)sqrt((double)sum_op)] = 0;
dfs(x,y-1,value+1);
return;
}
}
}
else if (x == n)
{
long long i, sum2 = 0;
for (i = 1; i <= n - 1; i++)
{
sum2 += val[i][y];
}
i = sear(sum2 + value);
while (val_flag[i*i - sum2] == 1||square_flag[i]==1)
{
i++;
}
val[x][y] = i*i - sum2;
val_flag[i*i - sum2] = 1;
square_flag[i] = 1;
dfs(x, y+1, value);
}
else if (y == n)
{
long long i,sum2=0;
for (i = 1; i <= n - 1; i++)
{
sum2 += val[x][i];
}
i = sear(sum2 + value);
while (val_flag[i*i - sum2] == 1)
{
i++;
}
val[x][y] = i*i - sum2;
val_flag[i*i - sum2] = 1;
square_flag[i] = 1;
dfs(x + 1, 1, value);
}
else
{
val[x][y] = value;
val_flag[value] = 1;
if (val_flag[value+1] == 0)
{
dfs(x, y + 1, value+1);
}
else
{
while (val_flag[value+1] == 1)
{
value++;
}
dfs(x, y + 1, value+1);
}
}
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
if (n == 1)
{
cout << "No Solution" << endl;
}
else
{
memset(square_flag,0,sizeof(square_flag));
memset(val_flag, 0, sizeof(val_flag));
dfs(1, 1, 1);
}
return 0;
}
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