矩阵分析及其在线性代数中的应用(3-4)

矩阵分析及其在线性代数中的应用(3-4)

3. 矩阵代数

3.2 加和转置

• 标量：一个复数
• 两个矩阵相等：每个元素均相等
• 行向量，列向量
• 同shape的矩阵相加，逐元素的加
  1. 加运算的逆
  2. 矩阵的差
• 标量乘法：逐元素相乘(关于标量和矩阵均满足分配律)
• 原矩阵\(A\)，共轭矩阵\(\mathop{A}\limits^{-}\)，矩阵的转置\(A^{T}\)，共轭转置(伴随矩阵(\(A^{\*}=A^{T}\)))
• 对称性：
  1. 对称阵　\(A=A^{T}\)
  2. 反对称阵 \(A=-A^{T}\)
  3. 厄米特阵 \(A=A^{\*}\)
  4. 反厄米特阵 \(A=-A^{\*}\)

3.3 线性性(Linearity)

• 线性函数：满足加法和数乘的函数
• 仿射函数：线性函数的转移
• 微分和积分算子也是线性的
• 转置函数和迹函数也是线性的
  迹函数：\(A_{n\times n}\)主对角线上元素的和
• 线性组合的定义：对于标量\(\alpha_{j}\)和矩阵\(X_{j}\)，\(\alpha_1 X_{1}+\alpha_2 X_{1}+\cdots+\alpha_n X_{n} = \sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_{j}X_{j}\) 是 \(X_{j}\)的线性组合

3.5 矩阵乘法

矩阵乘法起源于Caylay对线性函数的复合的研究

• 内积
• 一致的两个矩阵\(A_{m\times p}\)与\(B_{p\times n}\)的积(product)，(i,j)位置是\(A\)的第ｉ行与\(B\)的第ｊ列的内积
  1. 不满足交换律的矩阵乘法
  2. \(AB = 0\) 并不意味着　\(A = 0\) 或者　\(B = 0\)，因此消去法不成立
• 乘积中的行与列：两个矩阵\(A_{m\times p}=[a_{ij}]\)与\(B_{p\times n}=[b_{ij}]\)
  1. ([AB]{i*} = AB)
  2. ([AB]{*j} = AB)
  3. ([AB]{i*} = aB_{1} + a_{i2}B_{2} + \cdots + a_{ip}B_{p} = \sum_{k=1}^{p}a_{ik}B_{k})
  4. ([AB]{*j} = A{1}b_{1j} + A_{2}b_{2j} + \cdots + A_{p}b_{pj} = \sum_{k=1}^{p}A_{k}b_{kj})