猫王相亲
题目大意
给定一个金字塔，从第二层起每一层中的数均等于下面一层左右的两个数之和。给定正整数$n（n\le10^5）$，金字塔的第一层为$1$到$n$从小到大排列而成的数列，求金字塔顶的数。
数列特征
从已知条件只能知道第一行为$1～N$的等差数列。
假设第一行中某三个连续的数字为$a-d, a, a+d$，（$d$为等差数列的公差，此处$d=1$），那么第二行对应的数为$2a-d,2a+d$，相差$2d$，由于$a$的一般性，所以对于第二行任意两项的差都为$2d$，以此类推每一行的数列都组成等差数列，第$i$行数列的公差为$d_i=2^{i-1}$。
首项的值
推导出公差之后，只要知道数列的首项，就能很快得出整个数列，而最后求的是金字塔顶的数，就相当于最顶上一层的首项，所以设$F_i$为第$i$层的首项。
根据每个数等于下一层左右两个数的和，那么就有
$$\begin{array}\\F_i&=&F_{i-1}+(F_{i-1}+d_{i-1}) \\&=&2F_{i-1}+2^{i-1} \end{array}$$
代入$n$，则有
$$\begin{array} \\ F_n&=&2F_{n-1}+2^{n-2} \\ &=&2(2F_{n-2}+2^{n-3})+2^{n-2}&=&4F_{n-2}+2\cdot 2^{n-2} \\ &=&4(2F_{n-3}+2^{n-4})+2^{n-2}&=&8F_{n-3}+3\cdot 2^{n-2} \\&=&……\\ _{第i行}&=&2^iF_{n-i}+i\cdot 2^{n-2} \\ _{当i=n-1时}&=&2^{n-1}F_1+(n-1)\cdot 2^{n-2} \\ &=&(n+1)\cdot 2^{n-2} \end{array}$$
所以只要高精度加个快速幂就好了。
代码
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 4 struct BigNumber 5 { 6 static const long long BASE = 1000000000; 7 static const int BASEDIGS = 9; 8 9 int ndigs; 10 long long *digs; 11 12 void init(int n, const long long *d) 13 { 14 while (n > 0 && d[n - 1] == 0) 15 --n; 16 ndigs = n; 17 digs = new long long[n]; 18 for (int i = 0; i < n; ++i) 19 digs[i] = d[i]; 20 } 21 22 BigNumber(int n, const long long *d) 23 { 24 init(n, d); 25 } 26 27 BigNumber(long long x = 0) 28 { 29 long long d[2]; 30 d[0] = x % BASE; 31 d[1] = x / BASE; 32 init(2, d); 33 } 34 35 BigNumber operator *(const BigNumber &a) const 36 { 37 int n = ndigs + a.ndigs; 38 long long d[n], p; 39 for (int i = 0; i < n; i++) 40 d[i] = 0; 41 for (int i = 0; i < ndigs; i++) 42 { 43 p = 0; 44 for (int j = 0; j < a.ndigs; j++) 45 { 46 long long v = digs[i] * a.digs[j]; 47 long long v1 = v / BASE, v0 = v % BASE; 48 d[i + j] += v0 + p; 49 p = v1 + d[i + j] / BASE; 50 d[i + j] %= BASE; 51 } 52 for(int j = i + a.ndigs; p > 0; ++j) 53 { 54 d[j] += p; 55 p = d[j] / BASE; 56 d[j] %= BASE; 57 } 58 } 59 return BigNumber(n, d); 60 } 61 62 BigNumber operator *(long long x) const 63 { 64 int n = ndigs + 1; 65 long long d[n]; 66 long long a = 0; 67 for (int i = 0; i < ndigs; i++) 68 { 69 a += digs[i] * x; 70 d[i] = a % BASE; 71 a /= BASE; 72 } 73 d[ndigs] = a; 74 return BigNumber(n, d); 75 } 76 77 void write() const 78 { 79 if (ndigs == 0) printf("0"); 80 else 81 { 82 printf("%lld", digs[ndigs - 1]); 83 for (int i = ndigs - 2; i >= 0; i--) 84 printf("%0*lld", BASEDIGS, digs[i]); 85 } 86 } 87 }; 88 89 int n; 90 91 BigNumber pow(BigNumber x, int p) 92 { 93 if (p == 0) return BigNumber(1); 94 if (p == 1) return x; 95 if (p == 2) return x * x; 96 if (p & 1) return pow(pow(x, p / 2), 2) * x; 97 return pow(pow(x, p / 2), 2); 98 } 99 100 int main() 101 { 102 scanf("%d", &n); 103 if (n == 1) printf("1"); 104 else (pow(BigNumber(2), n - 2) * (n + 1)).write(); 105 }
