Strange Sum

题目大意：

对于一个大于$1$的正整数$x$，定义$v(x)$为不超过$x$的最大质数，$u(x)$为大于$x$的最小质数。

给定$n(n\le10^9)$，求：
$$\sum_{i=2}^n\frac{1}{v(i)\cdot u(i)}$$

多组数据，要求按最简分数形式输出。

 

分析：

对于任意两个相邻质数$p_1$、$p_2$，取任意整数$x\in[p_1,p_2)$，都满足：$\frac{1}{v(i)\cdot u(i)} = \frac{1}{p_1\cdot p_2}$，即这些数的和为$\frac{p_2-p_1}{p_1\cdot p_2} = \frac{1}{p_1} - \frac{1}{p_2}$。

那么，当$n+1$为质数时，设$P_i$为不大于$n+1$的质数，则
$$\sum_{i=2}^n\frac{1}{v(i)\cdot u(i)}=\sum_{i=1}^{k}(\frac{1}{p_i}-\frac{1}{p_i+1})=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}$$

而当$n$不为质数时，找到小于$n$的最大质数$P$，计算出$[2,P-1]$区间内的答案，$[P,n]$区间内的答案暴力求就好了。

 

代码：

#include <cstdio>

int t, n, f[100010], p[100000], pn;
int p1, p2;
long long fm, fz;

inline bool isPrime(int x)
{
    if (x <= 100000)
    {
        return f[x] == 0;
    }
    for (int i = 0, j; i < pn; i++)
    {
        j = p[i];
        if (j * j > x)
        {
            break;
        }
        if (x % j == 0)
        {
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}

long long gcd(long long a, long long b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

int main()
{
    f[0] = f[1] = 1;
    pn = 0;
    for (int i = 2; i <= 100000; i++)
    {
        if (f[i] == 0)
        {
            p[pn++] = i;
            for (int j = i + i; j <= 100000; j += i)
            {
                f[j] = i;
            }
        }
    }
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
    {
        scanf("%d", &n);
        for (p1 = n; p1 > 1; p1--)
        {
            if (isPrime (p1) == 1)
            {
                break;
            }
        }
        for (p2 = n + 1; p2 < 1000000010; p2++)
        {
            if (isPrime (p2) == 1)
            {
                break;
            }
        }
        fm = (long long) p1 * p2 * 2;
        fz = (long long) p2 * (p1 - 2) + (long long) (n - p1 + 1) * 2;
        long long k = gcd(fz, fm);
        fz /= k;
        fm /= k;
        printf("%lld/%lld\n", fz, fm);
    }
}