Atcoder Beginner Contest 356题解（D、E）

D. Masked Popcount

按位考虑 + 排列组合

考虑$M=10110111001$
$i$从$0$循环到$N$

因为求的是所有$i\mathrm{\&}M$的二进制表示中1的个数，所以可以按位考虑，考虑有多少个$i$的$bit$位与$M$的$bit$位$\mathrm{\&}$出来是$1$。

首先如果两个数$bit$位$\mathrm{\&}$出来是$1$，那么这两个位一定都是$1$。

假设当前$bit$是$7$

bit: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
M:    1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1
i:    _ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _

如果$bit$前面的位填1 0 1，则$bit$后面的位只能填0到0 1 1 1 0 0 1；方案数是$1\ast (M\mathrm{\&}0x11110000000+1)$
如果$bit$前面的位填0到1 0 0，则$bit$后面的位可以填0到1 1 1 1 1 1 1。方案数是$(i>>(bit+1))\ast (1<<bit)$

写代码时注意取模操作，传入函数中的参数也应该取模。

int n, m;

void solve() {
//    cout << ((1 << 9) + (1 << 7) + (1 << 6) + (1 << 4) + 1) << '\n';
    cin >> n >> m;
    int ans = 0ll;
    for (int r = 60ll; r >= 0ll; r --) {
        if (m >> r & 1ll) {
            if (n >> r & 1ll) {
                plut(ans, plu(mul((n >> r + 1ll) % mod, (1ll << r) % mod), (n & ((1ll << r) - 1ll)) % mod + 1ll));
            }
            else {
                plut(ans, mul((n >> r + 1ll) % mod, (1ll << r) % mod));
            }
        }
    }
    cout << ans % mod << '\n';
}

E. Max/Min

考虑如果a数组中的元素各不相同。

观察到$a[i]\le 1e6$，可以开个桶来存储每个$a[i]$出现的次数，可以对这个桶数组再求个前缀和，则可以用这个前缀和数组$O(1)$地求出某一连续值域中出现的$a[i]$的个数。

现在如果我们（先将$a$排序以方便理解）从前往后枚举$a$中的每一个元素，求当前位置$i$后面有多少个$j$使得$\lfloor \frac{a_j}{a_i}\rfloor$等于某一个值$x$，我们发现这个x的最大值就是$\frac{max(a[i])}{a[i]}$。对于每个x，我们可以用$cnt[a[i]\ast x+a[i]-1]-cnt[a[i]-1]$来得出$a[i]$对答案的贡献，假设$m=max(a[i])$，那么我们这样操作的时间复杂度就是$\sum _{i=1}n\frac{m}{a[i]}<=\sum _{i=1}n\frac{m}{i}$，因为后者是调和级数，所以时间复杂度就是$O(mlogn)$。

在代码实现中要注意特判$a[j]$是$a[i]$的$1$倍的情况并且注意把相同的$a[i]$内部的贡献加上。

int n;
int cnt[(int)2e6 + 10];
int s[(int)2e6 + 10];

void solve() {
    cin >> n;
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);
    vector<int> a;
    int max_a = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        int x;
        cin >> x;
        a.push_back(x);
        cnt[x] ++;
        max_a = max(max_a, x);
    }
    sort(a.begin(), a.end());
    a.erase(unique(a.begin(), a.end()), a.end());
    int ans = 0;
    memset(s, 0, sizeof s);
    for (int i = 1; i <= (int)1e6; i ++) {
        s[i] = s[i - 1] + cnt[i];
    }
//    for (int i = 1; i <= 4; i ++) {
//        cout << s[i] << ' ';
//    }
//    cout << '\n';
//    for (int i = 0; i < a.size(); i ++) {
//        cout << a[i] << ' ';
//    }
//    cout << '\n';
//    for (int i = 0; i < a.size(); i ++) {
//        cout << cnt[a[i]] << ' ';
//    }
//    cout << '\n';
    for (int i = 0; i < a.size(); i ++) {
        int m = max_a / a[i];
        for (int j = 1; j <= m; j ++) {
//            cout << j << ' ' << j * a[i] + a[i] - 1 << ' ' << j * a[i] << '\n';
//            int ct = (s[j * a[i] + a[i] - 1] - s[(j == 1 ? j * a[i] : j * a[i] - 1)]) * cnt[a[i]] * j;
//            cout << ct << '\n';
            ans += (s[min(j * a[i] + a[i] - 1, (int)1e6)] - s[min((int)1e6, (j == 1 ? j * a[i] : j * a[i] - 1))]) * cnt[a[i]] * j;
        }
        ans += cnt[a[i]] * (cnt[a[i]] - 1) / 2;
    }
    cout << ans << '\n';
}