2024江苏省大学生程序设计大赛（JSCPC）热身赛题解（B）

题目大意：

求区间\([l, r]\)中有多少正整数满足\(\phi(\phi(n)) = \phi(n) - 1\)，其中\(\phi\)为欧拉函数。

解：

设\(y=\phi(n)\)，则上式变为\(\phi(y) = y - 1\)，易证\(y\)为质数（注意\(\phi(1) = 1\)，\(1\)与任何正整数都互质）。

故原问题转化为求\([l, r]\)中有多少个正整数v满足\(\phi(v)\)为质数。

首先\(1\)的欧拉函数是\(1\)，不是质数。

考虑欧拉函数的公式\(\phi(n) = n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdot...\cdot(1-\frac{1}{p_k})=\frac{n}{p_1p_2\cdot...\cdot p_k}(p_1-1)(p_2-1)\cdot...\cdot(p_k-1)\)，其中\(p_1, p_2, \dots, p_k\)为\(n\)的所有质因数。

注意到上式中\(\frac{n}{p_1p_2\cdot...\cdot p_k}\)必定为一个正整数

观察质数\(2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...\)

1. 若\(n\)的质因数中包含\(\ge5\)的数时，设该数为\(m\)，则\(m - 1\)一定是一个合数（因为这个范围内的质数一定都是奇数，且每两个质数之差\(\ge2\)），故\(n\)的欧拉函数不是质数。

2. 若\(n\)的质因数只有\(2\)或\(3\)，设\(n = 2^a 3^b\)，

   • 若\(b>1\)，则\(\frac{n}{p_1p_2\cdot...\cdot p_k}\)一定是3的倍数，且\((3 - 1) = 2\)同时又是右边的因子，故\(n\)的欧拉函数一定是合数，不是质数（\(n\)是\(2\times 3\)的倍数）。
   • 若\(b=0\)，则\(\phi(n)=\frac{n}{2}\)，只有当\(a=2\)时\(n\)的欧拉函数是质数。
   • 若\(b=1\)，
     • 若\(a>1\)，则\(\frac{n}{p_1p_2\cdot...\cdot p_k}\)一定是2的倍数，且\((3 - 1) = 2\)同时又是右边的因子，故\(n\)的欧拉函数一定是合数，不是质数。

接下来讨论\(a=0\)和\(a=1\)，最后总结得出欧拉函数为质数的正整数只有\(3, 4, 6\)。

int l, r;

// 返回0~x中欧拉函数是质数的数的个数
int ans(int x) {
	if (x >= 6) return 3;
	if (x >= 4) return 2;
	if (x >= 3) return 1;
	return 0;
}

void solve() {
	cout << ans(r) - ans(l - 1) << '\n';
}