中国剩余定理-简明易懂

　　中国剩余定理是一个耳熟能详的名字。我查找了百度百科上的解释，又四处寻找，但是真的每一篇都看不懂，看的我一头雾水。

　　但是，通过不懈的寻找，终于在伟大的破站找到了看得懂的答案。这里将视频总结成我的语言，写在这里。

　　这是20181109 23:18，Lightmain的第一篇博文。

《孙子算经》原题：

　　韩信要点兵，让他的士兵站成三人一列，多出来两人；站成五人一列，多出来三人；站成七人一列，多两人。问共有多少人；

　　可以通过枚举法：

　　满足第一条：2,5,811,14,17,20,23,26,29....

　　满足第二条：8,13,18,23,28......

　　满足第三条：9,16,23,30......

　　可以看出，23是同时满足三条的。然而，后面肯定会有重复的，怎么去求呢？要加上一个数n使其被3,5,7除的余数都不会变, 就要满足n是3,5,7的倍数，也就是n_min=105.所以，把23加上105i，使i取某一个整数就可以得到所有解了。然而，怎样把这个结论推广到所有的情况呢？

　　这个所有数的最小公倍数很好求。问题主要出在23身上。我们的祖先想出了一个办法。他们还把这个办法变成一首诗：

　　三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知。

　　这个方法可以在3,5,7的情况下应对所有的余数关系。诗的意思是：对于三个一排的，把余数乘以70；对于五个一排的，余数乘以21；对于七个一排的，余数乘以15；加起来再减去一堆105。按照这个题，就是70*2+21*3+15*2 = 233,  233-105*2 = 23.所以这个是可以O(1)解的。

　　容易看出：70是5，7的倍数，21是3,7的倍数，15是3,5的倍数，所以加上一个这样的数只会影响这个数关于其中一个数的余数。如：加上70之后，数字被7,5除的余数不会改变。

　　有人有问题了：为什么第一个不是 35 而是 70 呢？原因是，这个数需要是5,7的倍数，还要除3余1，这样，每加了一个70，该数模3的余数就会加1,不然不能直接乘以余数。另外两个也是同理。

　　所以，有了这个，就不难推广到所有情况了。

　　对于两两互质的一组数A = {a₁, a₂, .... , a_n},要使得一个解x，对于所有的整数i∈[1,n], 同时满足 x%a_i == m_i(这个mi数组的每一个元素也是给定的且两两互质)，就用这个方法。
　　这里的A就相当于刚才每列站的3, 5, 7人，m_i就相当于余下的2, 3, 2人，x就是我们求的总人数

　　我们设M 为A数组所有元素的乘积。找出一个B数组，B = {b₁, b₂, .... , b_n},  使得b_i 是 M / ai 的倍数，而且b_i%a_i = 1.(L为任意整数)
　　这里的B数组中的每一个数就相当于刚才的70, 21, 15。

　　那么，我们就可以找到一个解：x₀ = m₁b₁ + m₂b₂ + m₃b₃ ..... + m_nb_n.
　　(233=70*2+21*3+15*2)

　　要找到其他的解，就增加或减少s*t ，t为随意的一个整数。

　　于是，中国剩余定理恆錓傗釶（HengKongChuShi）了。

　　然而，还有一个问题。怎么求B?

　　B的唯一定义是b_i 是 M / ai 的倍数，而且b_i%a_i = 1.
　　因为有倍数关系，所以设 b_i = (M/a_i) * k. 而  b_i%a_i = 1  写得规范一点就是下面这个式子：

　　　(M/a_i) * k ≡ 1(mod a_i)    求k。

　　把它转化为正常的方程。当然是不定方程。

　　  (M/a_i) * k + a_i * j = 1 。

　　因为A两两互质，M是A中所有数的乘积，所以(M/a_i)与a_i互质。所以用扩展欧几里得解就可以了。

　　代码就不给了，反正也没有几个人耐得下性子看，还不如回去自己写。

　　就此㝴㸅(wan jie)！