20200611题解：树网的核

树网的核 洛谷P1099

这是一道非常修仙的题目。算法都很不正经。袁老师告诉我这是一道DP题，一看又是树上的题目，我就以为是树形dp，但是题解里没有树形DP。

看题解的时候我的心仿佛被放入了冰箱冷冻室的绿豆糕一样，因为我最怕的就是这种钻数据空子的不优美算法（因为这种算法的得分是看脸的）。在心态恢复后的第二天下午，我发现实际上它们只是看起来不优美；实际上，把性质分析完毕之后这道题就根本不是一道树形题目了，所以看起来才不对劲。我决定用一篇小论文的题解来把这道题消化。

树形DP

这是我的算法：

dp[u][l][0/1] = 以u为根节点，链的长度为l，能否往上走，在此子树中的最小偏心距。

前期都很顺利。但是当我要求dp[u][l][0]的时候，发现无法求了。你不能直接拿它从dp[u][l - j][1]和dp[v][j][1]转移过来，因为dp[u][l][1]的值是包括了来自v的子树到u的偏心距候选项的，而且没办法把它消掉。如果要消掉，就得再开一维k表示不考虑u的子树k提供的偏心距候选项。这样就超空间了，而且极其麻烦，不知道哪里又会埋藏着什么错误。

而且这个算法是没有用到题目提供的一些性质的（比如这条链肯定是在直径上）。所以肯定不对。

不过，在使用这个算法的过程中学会了求树的中心。

暴力

因为数据太弱，所以这个\(O(N^4)\)暴力居然可以过。

因为答案肯定是在直径上，所以做题者想出了一个办法。先用传统的dfs法搜出直径的其中一端，那么从这个点搜出去的所有路径肯定就会包括所有直径（因为直径有一条性质：在边权大于等于0的树上，所有直径的并集肯定是一棵树。用反证法可以证明）。然后，我们要找的路径就肯定是一条连接祖宗和孩子的路径了。枚举两个点i,j使得j是i的祖先，再枚举路径上的所有点k，再从每一个点k深搜更新整棵树各个点到这条路径的最短距离，最后再扫描全图得到答案。

树的中心

用“求树的中心”的那一节的算法，可以“求出对于每个点i，离它最远的点离它的距离“。

树的中心：设f(u)=离点u最远的点到点u的距离。f(u)最小的点就被称为树的中心。

首先任意指定一个根，这样才能树形DP。

f(u)要被分为两个部分，一个是u的子树内离u最远的（设为g(u)），一个是u的子树外离u最远的（设为h(u)）。

子树内最远的很好解决；子树外最远的怎么做呢？

子树外最远的这个点到u的路径肯定经过u的父亲。所以，如果我们先求出了g(fa[u])和h(fa[u])，那么就可以用父亲的数据得到u的h(u)了。

但是，如果u正好是g(fa[u])所选择的那一个子树，就会导致边 <u,fa[u]>被来回走了两次。这当然是不合法的；所以我们还需要保存g(fa[u])所选择的是哪一个子树，并求出每个点的子树内离u第二远的（设为l(u)）点到u的距离。

然后就可以F(u, 1, n) f[u] = max(g[u], h[u]);了。

但是好像这个东西在这道题里并没有什么用。

证明：并不需要枚举每条直径，只需要任意一条（证明摘自题解）

那么如果一棵树有多条直径怎么办呢？没关系，任选一条即可。首先，两条直径不可能不相交。把相交的那一部分看成一个点，剩下的直径部分就会关于这个点对称。而如果选择的路径包含了分叉点，其偏心距就是恒定的（这个分叉点到直径末端的距离），所以可以任选一条直径求解。

优化

当我们找到了一条直径，这道题就变成了一道序列题。

当我们选择其中的一个子段时，这个子段的答案包括两部分：子段的两端到直径的两端有两个距离k1,k2，以及每一个子段中的点往直径的两边搜索得到的答案f(u)。因为不会重复搜到点，所以求出所有的f(u)的时间是\(O(N)\)的。k1,k2可以在dfs出整棵树的depth[]之后\(O(1)\)求。所以，预处理出depth[]和f(u)后，这就真的成了一个滑动窗口的题目了。

单调队列可以O(N)解决。

所以 \(N \le 300\) 的数据范围完全可以再加大：据说BZOJ上有这道题的原题，数据范围是\(5\times10^5\)。