Huffman

问题：构造一颗包含 $n$ 个叶子节点的 $k$ 叉树，第 $i$ 个叶子节点深度 $d_i,$ 权重$w_i,$使$\sum _{i=1}^n{d}_i\ast w_i$最小
直观考虑：要使得权重大的在上面，权重小的在下面
因为对于一个叶子节点，他的贡献是他的权重*他到根的路径节点数，不妨使树转化为：
对每个叶子节点，使得他和根节点之间的所有节点（除去自己）都加上这个叶子结点的权重，就可以把贡献分摊到所有节点上
这样最终的总和就是所有节点的和
于是就有了一个贪心策略：
$1.$ 建立小根堆，插入所有节点
$2.$ 找到 $k$ 个权重最小的节点，新加入一个节点，权重为他们之和
$3.$ 重复 $2$ 操作，直到堆的大小为 $1$

但是这个算法有一个$bug:$可能在深度为2时节点的数量已经不足$k$个
这样浪费了深度为$2$的空间，显然不是最小的构造

怎么解决？

肯定要使最底下一层的一些节点变成空，于是想到加入 $0$ 元素，使得叶节点数 $n$ 满足$(n-1)\mathrm{\%}(k-1)=1$

NOI2015 荷马史诗：

条件是没有一个字符串是另一个字符串的前缀，其实就是Huffman
最长$s_i$最短的限制？如果有两个相同的元素优先使用当前深度较小的元素

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std ;
 
typedef long long ll ;
const int N = 100100 ;
 
struct node {
	ll w ; int tim ;
};
 
bool operator <(node a, node b) {
	if (a.w != b.w) return a.w > b.w ;
	else return a.tim > b.tim ;
}
 
priority_queue <node> q ;
int n, k ;
ll ans ;
ll w[N] ;
 
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &k) ;
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &w[i]) ;
	while ((n - 1) % (k - 1) != 0) w[++n] = 0 ;
	for (int i = 1; i <= n; i++) q.push((node){w[i], 0}) ;
	while (q.size() != 1) {
		int mxt = 0 ; ll sum = 0 ;
		for (int i = 1; i <= k; i++) {
			sum += q.top().w ; mxt = max(mxt, q.top().tim) ;
			q.pop() ;
		}
		q.push((node){sum, mxt + 1}) ;
		ans += sum ;
	}
	printf("%lld\n%d\n", ans, q.top().tim) ;
}
 

__EOF__

作　　者：哈奇莱特
出　　处：https://www.cnblogs.com/lighthqg/p/17624946.html
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