计算机中的红与黑(三)

2、delete

相对于insert操作删除操作相对有点复杂。我们一步一步来。

同样这里的操作时基于对二叉搜索树的delete操作的。先看一下代码。

void rbtdelete(Node * root, Node * node){
    Node * n = delete(root, node);// the return node n is the child node of the delete node node
    if(node->color==BLACK) rbtdelete_fixup(root,n);
}

什么时候需要进行修复？如果删除的是一个红色节点，那么红黑性质肯定没有改变，因此不需要进行修复；如果删除的是一个黑色节点，那么被删除的节点所在的路径上黑节点的个数减一，因此红黑性质遭到了破坏，需要进行修复。由于被删除节点所在的子树，缺少了一个黑色节点，我们假设现在所指向的节点也就是他的孩子节点，多了一层黑色，如果原来这个节点是黑色的，那么现在他是双黑节点，如果原来是红色的，那么是红黑节点。这里的rbdelete_fixup算法可以将这个节点的多出来的那层黑色不断的往上移动，最后达到平衡的状态。

 

现在我们知道当前节点指向的是被删除的节点的子节点，这里有一个非常特殊的情况，如果在删除之前只有一个节点，那么删除之后就会出现为空树的情况，这时是没有必要进行修复的！

假设删除的是一个叶子节点，那么最后的子节点一定指向了NIL节点。

从红黑树的定义可以看出在整体上实际上这个NIL节点是没有父节点的，或者我们没有用到，它的作用体现在充当null的作用，所有的null孩子，根node的null父节点，都指向了这个节点。也就是默认这个NIL节点既没有孩子，也咩有父亲。但是当我们删除一个叶子节点的时候，会将其子节点，即这个NIL节点的父节点指针指向被删除的节点的父节点。

 

和插入操作类似，首先对所有的case进行分类，我们只考虑当前节点为其父节点左子结点的情况，如果为右子节点，和这里的情况是对称的。为了便于说明我们假设当前节点为x，它的父节点为f，兄弟节点为w

情景一、当x为红色的时候

这是最简单的情形了，由于被删除的节点是黑色，x正好在被删除的节点所在的子树当中（实际上两者都是所在子树的根节点），现在x是红色，将其改为黑色，那么就可以弥补删除原先节点的黑色节点缺一的情况。

下面考虑x为黑色节点的情况，这里的情形和insert操作是的情形正好相反，在insert当中当前节点（也就是插入的节点），它的父节点f，以及祖父节点ff都是确定的，所以使用它的叔节点作为划分的依据。但是这里的情况变味了及时父节点的颜色也是无法确定的。？？？？为什么是使用兄弟节点作为划分的依据，不太清楚。

情景二、当x为黑色的时候，w为红色时候，根据红黑树的性质，我们知道w的上下左右不会出现红色节点，也就是全是黑色的

这是左边的子树几乎出于饱和的状态，看起来似乎没有扩充一个黑色节点的机会，我们对其进行一次左旋，将f染为红色，新的子树根节点w染为黑色，这时左子树多了一个节点，并且每条路径上的黑色节点的个数没有改变。

这是的新的当前节点没有改变仍然为x，似乎节点的层数下降了一层。有的人可能回想，这样下去，测试节点一会下，一会上，算法什么时候才能结束，实际上，从情形二导出的之后的每种可能都会是算法结束的状态。这是算法会进入下面的三种情形当中的的一种，即在兄弟节点为黑色的前提下，考虑兄弟节点的孩子节点进行进一步的分类的情形。

情景三、当x为黑色的时候，w为黑色的时候，w的两个孩子都是黑色的时候

由于x为双黑节点，那么x和w分别去掉一层黑色，同时将父节点作为新的判定节点。

这种情形会导致算法进入下次的循环。log(n)

在下图的右半部分，the color of f is special, its color the its original color + black,这句话的意思并不是给f涂了一层黑色，我们只是假设给他加了一层黑色。 算法在下次迭代的时候，对其颜色进行判断：

1、如果是黑色，并且不是root，现在他就是双黑节点，那么算法还是需要继续，

2、如果是黑色，并且他还是root节点，那么算法就结束了，此时的情形是，所有路径上的黑节点个数少了一个。

3、如果是红色节点，说明在这里可以弥补一个黑色节点，也就是将其染为黑色，这样做的作用有两个：首先左子树原先少的黑色节点被补充，同时右子树中黑色节点现在被弥补上（因为刚才被改称红色黑色节点）

假设情形三是从情形二转化而来的，那么此时新的开始节点一定为红色，所以算法结束。

 

情形四、当x为黑色的时候，w为黑色，w的左孩子为红色，右孩子为黑色。这是我们针对以w为根的子树进行一次右旋转。并且修改w的颜色为红色，w的左孩子颜色为黑色。这是转化为了情形五。

情形五、当x为黑色的时候，w为黑色，w的右孩子为红色，左孩子颜色随意。这种情况对一f为根的子树执行一次左旋转。并且修改w的颜色为红色，E的颜色为黑色。这是的左子树的黑节点增加了一个，算法结束。

 

复杂度分析：

case 1：over

case 2 ——> case 3 : over

case 2 ——> case 4 ——> case 5 : over

case 2 ——> case 5 : over

case 3: up

case 4 ——> case 5 : over

case 5 : over

所以在进入case1，case2，case 4，case 5之后算法很快就会结束，导致迭代的只能是case 3，所以复杂度为log(n)