计算机中的红与黑(二)

三、左旋转和右旋转

在二叉搜索树当中有时需要对树进行旋转，来修复被破坏的某种性质，并且保持二叉搜索树本身的性质不变，这里主要包括了左旋转和右旋转

左旋转：以根节点和右子节点之间的连线为轴进行逆时针旋转。假设原来的根节点为node，右子节点为right，左子结点为left，旋转的结果是右子节点成为了新的根节点，并且右子节点的左孩子成为了原来的根节点的右孩子。

在这样的情况下，二叉搜索树的性质得到了保持。

右旋转：操作过程与左旋转正好相反，以根节点和左子结点之间的连线为轴进行顺时针旋转。假设原来的根节点为node，右子节点为right，左子结点为left，旋转的结果是左子结点成为了新的根节点，并且左子结点的右孩子成为了原来的根节点的右孩子。

四、红黑树

由于红黑树是一种二叉搜索树，对于他的操作都是基于上面的对于二叉搜索树的讨论，显然两者查找操作时一样的。

对于insert和delete操作可能会造成红黑树性质的破坏，因此需要进行调整。

1、insert

为了保持红黑树性质5，被插入的节点的颜色是红色的，这是可能会破坏性质2和性质4. 假设插入的节点就是根节点，则违反根节点为黑色的规定；假设插入的节点不是根节点但是出现了其父节点也为红色情况，则破坏了性质4.

boolean rbtinsert(Node * root, Node * newnode){
    boolean result=insert(root,newnode);
    if(result==false) return false;
    newnode->color=RED;
    rbtinsert_fixup(newnode);
    return true;
}

为了支持这里的操作，需要知道真正被插入的节点的位置,这个节点实际上就是newnode

下面详细介绍rbtinsert_fixup操作过程

 所谓授人以鱼不如授人以渔，在介绍具体的算法之前，我们先想想都会有啥情况？

对于本插入的节点正好为根节点从而破坏性质2的情况，由于过于简单，只需将被插入的节点改为黑色，问题即可破，我们将其作为一个Corner case，先将其放到一边，现在集中精力考虑两个红色的情况。既然上面介绍了，旋转，我们现在回想，我们能否通过旋转来解决这个问题呢？问题答案当然是OK，甚至有时根本不需要旋转就可以解决问题。

我们先对问题可能遇到的情况进行，汇总，由于要考虑旋转了，所以要多考虑一层节点，所以要上升到当前节点的祖父节点。祖父节点是什么颜色呢？当然是黑色的。因为现在我们知道父节点是红色，由于原来的红黑树是合法的，所以祖父节点应该为黑色。那么祖父节点的另一个孩子是什么颜色呢？红色？黑色？当然都有可能。

情况一、如果是红色，许多地方成这种情况为红叔节点，干脆叫做红薯吧！这种情况怎么办呢？我们可以把父节点和红薯节点染为黑色，在把祖父节点染为红色，当前节点上升到祖父节点，继续进行判断。这样进行颜色变换之后，被修改的路径上黑色节点的个数没有改变。和原来是一样的。

有的人会想，既然增加了一个节点，这样变换下去应该有导致黑色节点增加一个的情况。是的！当要检查的当前节点正好为根节点时，由于根节点的父节点NIL为黑色，所以算法停止，同时将更节点染为黑色（在算法的上一次迭代被染成了红色），从而导致红黑树整体的红色节点的个数增加了一个。

 

情况二、如果是黑色呢？这是情况变得似乎复杂了一点，但是仔细想想，我们的大招还没有上呢？我们会发现，进行适当的旋转和颜色变换之后，算法可以在这种情况下结束。我们可以先考虑一个具体的情况。假设当前节点是x，x是x的父节点f的左孩子，f是f的父节点ff的左孩子，同时ff的右孩子是y。各自的颜色上面的描述已经很清楚了，在重复一遍，x，f，是红色，ff和y是黑色。下一步怎么做？

经过上面的两步走，我们发现，现在的红黑树已经是一棵合法的红黑树了，在左子树上的连续的两个红色节点不复存在，同时每个分之上的黑色节点个数没有改变。由于进行的是右旋转，所以二叉搜索树的特性也没有改变。

情况三、我们再考虑一种特殊情况，假设x是f的右孩子怎么办？如下图所示。

经过上面的旋转，这种特殊的情况，转化为了上面的第二种情况，那么进行一次右旋转算法，就可以结束了。

上面的三种情况考虑的都是x的父节点是x的祖父节点ff的左孩子的情况，对于相反的情况和这种情况的处理方式是对称的，在这里不在赘述。

复杂度分析：

算法的第一种情况是导致，当前节点上升到祖父节点，进行递归的检查操作，并且没有旋转操作；对于另外两种情况，最多会有两次旋转操作，算法就可以在这里停止。因此最坏情况下的复杂度是O(logn)

但是我们发现他的节点旋转的次数非常的少，最多只有两次！