离散数学期中复习

离散数学II  第7-9章重难点概要

期中考试 包括计算题，论述题，证明题，应用题。计算题7道小题，论述5道小题，证明3个小题，应用1个小题。

第7章 图

7.1 零图，基图，标定图，关联（点和边），相邻（点和点），关联集（边集合），邻域（点集合），点v的度数，出度，入度，孤立点，G的最大（小）度，握手定理（有向图和无向图），度数列，可简单图化的判断及画图，图的同构定义，必要条件；简单图（无平行边无环），平凡图（1阶零图），竞赛图（基图是无向完全图），k-正则图（点的度数都为k），n阶无向完全图Kn，n阶有向完全图，彼得森图（10阶3-正则图），二部图（偶图，不含有奇圈），完全二部图，二部图的充要条件，子图，生成子图（点集相同），，同构定义及必要条件，自补图，图的运算（边的收缩，加新边，G1∪G2（边集合并之后，点集合为并后边关联点），G1∩G2（边集合相交，点集合为交后边的关联点），G1-G2（边集合做差后点集合同上），环和G1⊕G2（边集合做对称差，点集合同上），（前提无孤立点）

7.2 通路，回路，路径（初级通路），圈（初级回路），周长（最长圈长度），围长（最短圈长度），直径（最大的短程线的长度），扩大路径法（证明圈的存在），初级：边和点都各异

7.3 连通图，不连通图，连通分支，连通分支数p(G),

7.4 点连通度，最小点割集V’（大小为点连通度），边连通度，最小边割集E’，断集E’’（给定点集分成两部分）,  p(G-V’)>=2, p(G-E’)=2, p(G-E’’)>=2, 扇形割集（是边割集且包含于某点的关联集中）, Whitney定理（点连通度<=边联通度<=最小度），Th7.14（n阶简单无向图划分为三种情况），不含割点（2-连通）的无向图的充要条件（G中任意两个顶点共圈），不含割边（2-边连通）的图的充要条件（任意两个顶点共简单回路），块（无割点），含有割点的图的充要条件，含割边的图的充要条件， 

7.5 可达（两点之间存在通路），短程线（最短通路），弱连通（基图是连通图），单向连通（至少成立其一），强连通（双向成立）

 

第8章 欧拉图和哈密顿图

8.1（半）欧拉图：定义（必须是连通图）；充要条件（通过度数（无向都为偶数，有限入度等于出度），或圈（边不重复））；如何将非（半）欧拉图通过添边的方式改成（半）欧拉图；列出欧拉图的欧拉回路（Fleury算法）；欧拉图与中国邮递员问题的联系；轮盘设计中的欧拉图。欧拉图中的圈，欧拉回路与连通度，连通性的联系；

8.2（半）哈密顿图：定义（必须是连通图）；充分条件，必要条件；棋盘走马，旅行商问题。（求最短哈密顿回路.）

 

第9章 树

9.1 无向树的6个等价定义的内容；树的边数和点数的关系m=n-1；树中不相邻结点间添加任意一条新边，均产生一个唯一的圈；非平凡树至少含有两片树叶；星形图；

9.2 生成树与连通图的联系，树枝，余树，弦，n阶连通图的边数m>=n-1, 其生成树含n-1条边，余树的边（弦）m-n+1条；基本回路，基本回路系统；基本割集，基本割集系统；连通图中所有不同的生成树，不同生成树的个数计算；

9.3-9.4 环路，环路空间；断集，断集空间；

9.5有向树，根树，数额，分支点，层高（从零开始），树高，r叉完全正则有序树，根树的前（中，后）序遍历，Huffman编码，平均码字长度（码字长度乘以频率,求和）；

 

注意: 

（1）用图论的语言描述问题和解决问题，

（2）建模过程中，G=<V,E>，V的定义，E的定义，是否有（无）向图，简单图，二部图。

（3）学习中总结图论的实际应用，和重要算法。

（4）若证明某个点不是割点，可以通过证明该点在回路上（如欧拉回路，哈密顿回路，圈等），或者证明该点是生成树的树叶（不是生成树的分支点）

（5）证明某边不是割边，可通过证明该边在回路上，或不是该连通图生成树的树枝。