矩阵树定理学习

Matrix-Tree 定理又称基尔霍夫矩阵树定理，其用于解决：给定 n 个点 m 条边的无向图，求图的生成树个数的问题。

【基尔霍夫矩阵】
1.基本定义

1）无向图 G：给定 n 个点，m 条边的无向图，设点集为 V，边集为 E，则其记为 G(V,E)

2）度数矩阵 D[G]：当 i≠j 时，D[i][j]=0，当 i=j 时，D[i][i]=点 vi 的度数

3）邻接矩阵 A[G]：当 vi、vj 有边连接时，A[i][j]=1，当 vi、vj 无边连接时，A[i][j]=0

4）基尔霍夫矩阵(Kirchhoff) K[G]：也称拉普拉斯算子，其定义为 K[G]=D[G]-A[G]，即：K[i][j]=D[i][j]-A[i][j]

 

2.基尔霍夫矩阵性质

对于任意一个图 G，其基尔霍夫矩阵 K 具有以下性质：

    基尔霍夫矩阵 K 的每一行或每一列上的元素和都是 0
    基尔霍夫矩阵 K 的行列式的值为 0
    基尔霍夫矩阵 K 的任意一个代数余子式值都相同
    如果图 G 不连通，基尔霍夫矩阵 K 的任意主子式行列式值为 0
    如果图 G 是一棵树，基尔霍夫矩阵 K 的任意一个 n-1 阶主子式的行列式为 1

定理的证明过于困难不多做赘述了

我们来看一道例题

 

 

 

 本题并不是无向图的矩阵树定理了 而是加强版的有向树的矩阵树定理。我们需要做的改动是将1这个点设置为根节点，然后最后得到的矩阵应该是删除1这个元素得到的矩阵的值。

关于矩阵树定理用于有向图生成树计数：

①内向树生成树计数。
A为邻接矩阵， D为出度矩阵。
C=D−A。
以root为根的内向生成树个数为C的余子式M[root,root]的行列式。
②外向树生成树计数。
A为邻接矩阵， D为入度矩阵。
C=D−A。
以root为根的外向生成树个数为C的余子式M[root,root]的行列式。

本题是外向生成树计数

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 260;
const int MODE = 10007;
int n, m;
int a[N][N];	//a为入度矩阵
int c[N][N];
int d[N][N];	//d为度数矩阵
int ans;

void gauss() {//高斯求和法 线性代数讲过 不多累述
	for(int i = 1; i < n; ++i) {
		for(int j = i + 1; j < n; ++j) {
			while(c[j][i]) {
				int x = c[i][i] / c[j][i];
				for(int k = i; k < n; ++k) {
					c[i][k] = (c[i][k] - x * c[j][k] % MODE) % MODE;
				}
				swap(c[i], c[j]);
				ans = -ans;
			}
		}
		ans = (ans * c[i][i] % MODE + MODE) % MODE;
	}
}

int main () {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int u, v, i = 1; i <= m; ++i) {
		scanf("%d%d", &v, &u);
		++d[v][v];
		++a[u][v];
	}
	for(int i = 2; i <= n; ++i) {
		for(int j = 2; j <= n; ++j) {
			c[i - 1][j - 1] = d[i][j] - a[i][j];
		}
	}
	ans = 1;
	gauss();
	printf("%d\n", ans);
}