E:Modular Stability(组合数)
Modular Stability
思路
\((((x \mod a_1) \mod a_2) …… \mod a_{k - 1}) \mod a_{k} = (((x \mod p_1) \mod p_2) …… \mod p_{k - 1}) \mod p_{k}\),其中\(p\)数组是\(a\)数组的任意的排列。
这里的最小的\(a_i\)一定是决定最后答案的,所以我们后面的\(a_{i + ……}\)一定是最小\(a_i\)的倍数,我们假定最小的数是\(a_1\),我们只需要去枚举最小的数,然后求得剩下的数中,可以选出\(k - 1\)个满足要求的数有多少个即\(C(n / a_1 - 1, k - 1)\),这里就正好用到我前几天写的板子了。
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
#define pb push_back
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double eps = 1e-7;
const double pi = acos(-1.0);
const int inf = 0x3f3f3f3f;
inline ll read() {
ll f = 1, x = 0;
char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9') {
if(c == '-') f = -1;
c = getchar();
}
while(c >= '0' && c <= '9') {
x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);
c = getchar();
}
return f * x;
}
const int mod = 998244353;
const int N = 5e5 + 10;
ll fac[N], inv[N];
ll qpow(ll a, int n) {
ll ans = 1;
while(n) {
if(n & 1) ans = (ans * a) % mod;
a = (a * a) % mod;
n >>= 1;
}
return ans;
}
ll C(int n, int m) {
if(n < 0 || m < 0 || m > n) return 0;
if(m == 0 || m == n) return 1;
return ((fac[n] * inv[m]) % mod * inv[n - m]) % mod;
}
void init() {
fac[0] = 1;
for(int i = 1; i < N; i++)
fac[i] = (fac[i - 1] * i) % mod;
inv[N - 1] = qpow(fac[N - 1], mod - 2);
for(int i = N - 2; i >= 0; i--)
inv[i] = (inv[i + 1] * (i + 1)) % mod;
}
int main() {
// freopen("in.txt", "r", stdin);
// freopen("out.txt", "w", stdout);
// ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
init();
int n = read(), k = read();
ll ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
ans += C(n / i - 1, k - 1);
ans %= mod;
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}