网络流初步 + Edmond-Karp算法
网络流初步 + Edmond-Karp算法
网络流的基本概念
- 源点,这个点只有流量的流出,没有流入。
- 汇点,这个点只有流量的流入,没有流出。
- 容量,每条有向边的最大可承受的流的理论大小。
- 流量,每条有向边的最大可承受的流的实际大小。
- 最大流,从源点可流入汇点的最大流量。
Edmond-Karp算法
1、如果可以找到增广的路径,取这条路径上的最小的容量作为当前的可增广的流量。
2、在这条增广的路径中的每一个有向边减去当前可增广的流量,同时在其反向边加上当前可增广的流量。
3、重复1的操作,如果不能找到可增广的路径,则说明,已经找到了最大流,输出答案即可。
为什么要在反向边上增加上当前可增广的流量。
毫无疑问这张图的最大流是\(4 = 2(1 -> 3 -> 4) + 2(1 -> 2 -> 4)\)
但是如果我们找寻的一条增广路径是\(2(1 -> 2 -> 3 -> 4)\)之后,我们再也就找不到其他的增广路径了
但是如果我们在每一次取用这条边之后,在其反方向增加对应的反向边。
显然我们可以得到另一个增广路径\(2(1 -> 3 -> 2 -> 4)\),这里我们得到的最大流,也是正确答案。
板子 + 例题
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int maze[20][20], n, m;
int visit[20], pre[20];
bool bfs(int st, int ed) {
queue<int> q;
memset(visit, 0, sizeof visit);
q.push(st);
visit[st] = 1;
while(!q.empty()) {
int temp = q.front();
q.pop();
if(temp == ed) return true;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
if(!visit[i] && maze[temp][i] > 0) {
visit[i] = 1;
q.push(i);
pre[i] = temp;
}
}
}
return false;
}
int max_flow(int st, int ed) {
int ans = 0;
while(bfs(st, ed)) {
int now_max = INF;
int p = ed;
while(p != st) {
now_max = min(now_max, maze[pre[p]][p]);
p = pre[p];
}
p = ed;
while(p != st) {
maze[pre[p]][p] -= now_max;
maze[p][pre[p]] += now_max;
p = pre[p];
}
ans += now_max;
}
// cout << ans << endl;
return ans;
}
int main() {
// freopen("in.txt", "r", stdin);
int t, x, y, w;
scanf("%d", &t);
for(int cas = 1; cas <= t; cas++) {
scanf("%d %d", &n, &m);
memset(maze, 0, sizeof maze);
for(int i = 0; i < m; i++) {
scanf("%d %d %d", &x, &y, &w);
maze[x][y] += w;
}
printf("Case %d: %d\n", cas, max_flow(1, n));
}
return 0;
}
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