1.1整除

几个公式定理及证明

一、如果 \(a \mid b\)，且 \(b \mid c\)，那么 \(a \mid c\)

二、如果 \(a \mid b\)，且 \(a \mid c\)，那么对于任意整数 \(x\)，\(y\)，有 \(a \mid (bx + cy)\)。

三、设 \(m \not= 0\)，那么 \(a \mid b\) 等价于 \(ma \mid mb\)。

四、设 \(x\) 和 \(y\) 满足：\(ax + by = 1\)，且 \(a \mid n\) 、\(b \mid n\)，那么 \(ab \mid n\)。

通过 \(ax + by = 1\) 一定有 gcd(a, b) = 1，分两种情况。

• 1 \(a\) \(b\) 都是质数，我们可以直接推出 \(ab \mid n\)。

• 2 \(a\) \(b\) 中有一个为1，我们一也可以直接推出 \(ab \mid n\)。

五、若 \(b = qd + c\)，那么 \(d \mid b\) 的充要条件是 \(d \mid c\)。

充分条件 \(d \mid b \rightarrow d \mid c\)

对方程两边同时初除以 d 得到 \(z = z + c \div d\)，要使方程两边都是整数则 \(c \div d\) \(\epsilon\) \(z\)，有 \(d \mid c\)，这里的 \(z\) 是代表整数。

必要条件 \(d \mid b \leftarrow d \mid c\)

同上除以 d 得到 \(b \div d = z + z\)，要使方程两边都是整数则 \(b \div d\) \(\epsilon\) \(z\)，有 \(d \mid b\)。

六、二元一次不定方程的一般形式为 \(ax + by = c\) 。其中 \(a，b，c\) 是整数，\(ab \not= 0\) 方程有解的充分必要条件是 \(gcd(a, b) \mid c\)。

充分条件，取gcd(a, b)，方程两边同时除以gcd(a, b)，有 \(zx + zy = c \div gcd(a, b)\)，方程右边满足是整数，同时方程右边也要是整数证得\(gcd(a, b) \mid c\)，成立，\(z\) 代表的是整数。

必要条件，设 \(n = a \div gcd(a, b)\), \(m = b \div gcd(a, b)\)，方程两边同时除以gcd(a, b)，得到
\(nx + my = c \div gcd(a, b)\)，我们可以得到gcd(n, m) = 1，也就是通过对n, m 组合我们可以得到任意整数，证明 \(ax + by = c\) 有解成立