Hall 定理学习

Hall 定理学习

本来以为 Hall 定理是对于二分图匹配的，做到这道题发现可以推广，尝试自己证明。

Hall 定理

对于一张二分图，左部点集合为 $S$，右部点为 $T$，$|S|=|T|$。每个点 $i$ 有个数，用 $a_i$ 表示。
有边集 $E=\{(x,y)|x\in S,y\in S\}$，表示从点 $x$ 连到点 $y$ 有一次匹配，注意可以有重边。
一个完美匹配是一个 $E$ 的子集，使得每个点匹配恰好 $a_i$ 条边。

$$N(S)=\{y|\mathrm{\exists }e\in E,e=(x,y),x\in S\}$$

这里对 $|N(S)|$ 的值做规定 $|N(S)|=\sum _{y\in N(S)}min(a_y,|\{(x,y)|(x,y)\in E,x\in S\}|)$

$|S|\le |N(S)|$ 是二分图有完美匹配的充要条件。

分析

其实这里可以把点 $i$ 拆成 $a_i$ 个一样的点，然后把边依次连给拆出来的每个点。但是笔者想保留原条件。

证明

必要性显然，略。

充分性，考虑归纳，设 $n=|S|=|T|$。

对于 $n=1$ 显然成立。

假设 $n\le k$ 都成立。对于 $n=k+1$ 的情况：

如果存在 $s⊊S,t=N(s)\subseteq T,\sum _{i\in s}{a}_i=\sum _{i\in t}{a}_i$，那么分 $\bar{S}\cup N(\bar{S})$,$S,\cup N(S)$两个点集以及其子图来考虑，归纳下去。

如果不存在，那么随便找到一条边 $(x,y)$，将 $a_x:=a_x-1,a_y:=a_y-1$，匹配掉，删去这条边。可见条件在剩下的图仍然满足。归纳下去。$◼$

参考资料

https://www.cnblogs.com/yspm/p/15184873.html

https://www.luogu.com.cn/problem/P9339