stable marriage problem

稳定婚姻问题学习笔记

问题阐述

给定 $n$ 个男性和 $n$ 个女性，每个男性对女性有偏好度，女性对男性也是。要求一个完美匹配，使得没有一对未匹配的男女，对对方的偏好度都比目前的伴侣骗号度高。

性质

稳定婚姻匹配一定存在，不一定唯一。

算法

Mating Ritual 算法

早上：男性找到自己最喜欢的女性，给她唱歌

中午：女性如果有很多男的给她唱歌，选自己最喜欢的，然后让别的走

晚上：男的再也不去给那个拒绝他的女的唱歌

如此重复最多 $n^2$ 天，每个女性只有一个男的给她唱歌，就是最终匹配。

/*
实际代码跟算法有出入，一次只计算一个男人，编码方便，原理一致
*/
int wp[210],mp[210];//女/男人匹配的
int p1[210][210],q1[210][210];
int p2[210][210],q2[210][210];
// 优先级越大表排名越靠前 p1 代表男人对女人 p2 代表女人对男人 q1,q2为这个人所对应优先级
void stable_marriage(){
    for(int i=1;i<=n;++i)mp[i]=wp[i]=0;
    int cnt=n;
    while(cnt>0){
        int m=1;
        while(mp[m]>0)m++;
        assert(m<=n);
        for(int i=1;i<=n;++i){
            int w=p1[m][i];
            if(wp[w]==0){
                mp[m]=w;
                wp[w]=m;
                cnt--;
                break;
            }else if(q2[w][m]<q2[w][wp[w]]){
                mp[wp[w]]=0;
                wp[w]=m;
                mp[m]=w;
                break;
            }
        }
    }
}

算法趣谈

看似女性充满了主动权，实则男性收获最大。

这个算法得到的男性对应的女性，是可能女性里偏好度最大的。女性对应的男性，是可能男性里偏好都最小的。

反直觉的事实。

参考资料

MIT