笛卡尔树

笛卡尔树

定义

以一个数列为基础，存储数列中元素，满足两个限制的树。一是数列中元素的下标满足二叉搜索树的性质，二是元素的大小满足堆的性质。

建树

使用单调栈，在线建树。考虑从左往右在已有的笛卡尔树中添加元素，因为新元素的下标最大，所以只可能取代最右链中的某个元素，并将其收为左儿子。又由于堆的性质，所以右链元素单调，且弹出就不再加入，使用单调栈维护右链。每个元素加入一次删除一次，时空复杂度均为 $O(n)$

stk.emplace(0);
p[0]=0;//虚拟节点 
for(int i=1;i<=n;++i){
    while(!stk.empty()&&p[i]<p[stk.top()])stk.pop();
    int pos=stk.top();
    lc(i)=rc(pos);
    t[lc(i)].fa=i;
    rc(pos)=i;
    t[i].fa=pos;
    stk.emplace(i);
}

应用

RMQ问题，各种依赖于min,max的分治，然后转化到树上问题，method of four russians 算法