标准差
标准差(英语:Standard Deviation),数学符号σ,在概率统计中最常使用作为统计分布程度(statistical dispersion)上的测量。标准差定义为方差的算术平方根,反映组内个体间的离散程度;标准差与期望值之比为标准离差率。测量到分布程度的结果,原则上具有两种性质:
- 为非负数值;
- 与测量资料具有相同单位。
一个总量的标准差或一个随机变量的标准差,及一个子集合样品数的标准差之间,有所差别。其公式如下所列。
标准差的观念是由卡尔·皮尔逊(Karl Pearson)引入到统计中。
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阐述及应用[编辑]
简单来说,标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标准差,代表大部分的数值和其平均值之间差异较大;一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。
例如,两组数的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7,但第二个集合具有较小的标准差。
表述“相差k个标准差”,即在的样本(Sample)范围内考量。
标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中,做重复性测量时,测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值,测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较),则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解,因为如果测量值都落在一定数值范围之外,可以合理推论预测值是否正确。
标准差应用于投资上,可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大,代表回报远离过去平均数值,回报较不稳定故风险越高。相反,标准差数值越小,代表回报较为稳定,风险亦较小。
总体的标准差[编辑]
基本定义[编辑]
μ为平均值。
简易口诀:离均差平方和的平均;方均根
简化计算公式[编辑]
上述公式可以如下代换而简化:
所以:
根号里面,亦即方差()的简易口诀为:“平方的平均”减去“平均的平方”。
总体为随机变量[编辑]
一随机变量的标准差定义为:
须注意并非所有随机变量都具有标准差,因为有些随机变量不存在期望值。 如果随机变量为
具有相同概率,则可用上述公式计算标准差。
离散随机变量的标准差[编辑]
若是由实数
构成的离散随机变量(英语:discrete random variable),且每个值的概率相等,则
的标准差定义为:
,其中
换成用来写,就成为:
,其中
目前为止,与总体标准差的基本公式一致。
然而若每个可以有不同概率
,则
的标准差定义为:
,其中
连续随机变量的标准差[编辑]
若为概率密度
的连续随机变量(英语:continuous random variable),则
的标准差定义为:
其中
标准差的特殊性质[编辑]
对于常数和随机变量
和
:
- 其中:
表示随机变量
和
的协方差。
- 其中:
样本的标准差[编辑]
在真实世界中,找到一个总体的真实的标准差是不现实的。大多数情况下,总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。
从一大组数值当中取出一样本数值组合
,常定义其样本标准差:
样本方差是对总体方差
的无偏估计。
中分母为
(相较于总体
中的分母为
),是因为
的自由度为
,这是由于存在约束条件
。
范例[编辑]
这里示范如何计算一组数的标准差。例如一群孩童年龄的数值为{ 5, 6, 8, 9 }:
- 第一步,计算平均值
︰
- 当
(因为集合里有4个数),分别设为:
(此为平均值)
- 第二步,计算标准差
︰
(此为标准差)
正态分布的规则[编辑]
在实际应用上,常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确,则约68%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围,约95%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围,以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为“68-95-99.7法则”。
标准差与平均值之间的关系[编辑]
一组数据的平均值及标准差常常同时作为参考的依据。从某种意义上说,如果用平均值来考量数值的中心的话,则标准差也就是对统计的分散度的一个“自然”的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。较确切的叙述为:设为实数,定义函数
使用微积分或者通过配方法,不难算出在下面情况下具有唯一最小值:
几何学解释[编辑]
从几何学的角度出发,标准差可以理解为一个从维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子,一组数据中有3个值,
。它们可以在3维空间中确定一个点
。想像一条通过原点的直线
。如果这组数据中的3个值都相等,则点
就是直线
上的一个点,
到
的距离为0,所以标准差也为0。若这3个值不都相等,过点
作垂线
垂直于
,
交
于点
,则
的坐标为这3个值的平均数:
运用一些代数知识,不难发现点与点
之间的距离(也就是点
到直线
的距离)是
。在
维空间中,这个规律同样适用,把
换成
就可以了。