有向图传递闭包

有向图的传递闭包是Floyd warshall 算法的一种应用（主要参考算法导论）

传递闭包的定义

对于有向图\(G(V,E)\)的传递闭包即是\(G(V,E^{*})\),其中\(E^{*}=\{(i,j)|图G中包含一条由i到j的路径\}\)。

Floyd warshall 传递闭包算法

Floyd warshall 代码

void floyd_warshall()
{
    int tmp;
    for(int k = 1; k <= n; ++k)
    {
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            for(int j = 1; j <= n; ++j)
            {
                //松弛操作； 
                { 
                    tmp = mp[i][k] + mp[k][j];
                    if(tmp < mp[i][j])
                    {
                        mp[i][j] = tmp;
                    }
                }
            }
        }
    }
}

算法实现原理

由于我们只需要确定节点对(i,j)之间是存在i->j的路径，所以，对于松弛操作可以有两种优化方式，
(1)将所有节点对之间的存在的直接连通的边权重设为1，不连通设为INF（无穷大）。然后运行该算法，如果mp[i][j] < n;则（i，j）之间存在一条简单路径。如果mp[i][j] = INF,则两者之间不存在路径。
(2)可以将松弛策略改为，mp[i][j] == 1|| (mp[i][k] ==1 && mp[k][j] == 1)也即是要么，i可以通过{1,2,3,,,k-1}中的部分节点到达j,要么i可以通过{1,2,3,,,k-1}中的部分节点到达j，可以参考对Floyd warshall 算法的分析链接。

Floyd warshall 传递闭包算法的实现

void floyd_warshall()
{
	for(int k = 1; k <= n; ++k)
	{
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
		{
			for(int j = 1; j <= n; ++j)
			{
				if(mp[i][j] == 1 || mp[i][k] == 1 && mp[k][j] == 1)
				{
					mp[i][j] = 1;
				}
			}
		}
	}
}

时间复杂度

容易知道时间复杂度为O(V^3);

DFS 传递闭包算法

算法分析

DFS时间复杂度为O(V+E);
使用对每个节点进行DFS,每次可以得出一个节点的可以到达的节点，可以求出有向图的传递闭包，时间复杂度为V*O(V+E),即O(V*(V+E)); 
如果图的边数较少时，第二种算法更有效，可以根据题目的数据约束进行选择。

代码实现

int vis[N][N];//vis[i][j]表示i->j可达 
void dfs(int s)//普通的dfs算法
{
	int num = n;
	stack<int> st;
	st.push(s);
	vis[s][s] = 1;
	while(!st.empty())
	{
		int now = st.top();
		st.pop();
		int len = ed[now].size();
		for(int i = 0;i < len; ++i)
		{
			if(vis[s][ed[now][i]] == 0)
			{
				st.push(ed[now][i]);
				vis[s][ed[now][i]] = 1;
			}
		}
	}	
}			

算法题

Cow Contest
通信网络可以在CCF csp 官网进行提交练习。