bzoj2301（莫比乌斯反演+分块）

 

传送门：2301: [HAOI2011]Problem b

题意：对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

分析：gcd(x,y)==k等价于gcd(x/k,y/k)==1,根据莫比乌斯反演很容易求出[1,n][1,m]的gcd(x,y)==1的对数，但询问有50000个，直接去计算肯定会TLE，这里得分块处理加速计算，因为对于(n/i)和（m/i）在一定区间内的值是一定的，根据这点可以每次跳过这段的计算。

这里的分块有点类似求和sum=n/1+n/2+n/3+...+n/(n-1)+n/n.直接去算O(n)，分块O(sqrt(n)).

 

#pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000")
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <limits.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <stack>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#define LL long long
#define mod 100000000
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-6
#define N 50000
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define PII pair<int,int>
using namespace std;
inline int read()
{
    char ch=getchar();int x=0,f=1;
    while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch<='9'&&ch>='0'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
bool vis[N+5];
int mu[N+5],prime[N+5],sum[N+5];
void Mobius()
{
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    mu[1]=1;
    int tot=0;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[tot++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<tot;j++)
        {
            if(i*prime[j]>N)break;
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else
            {
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
LL solve(int n,int m)
{
    LL res=0;
    if(n>m)swap(n,m);
    for(int i=1,last=0;i<=n;i=last+1)
    {
        last=min(n/(n/i),(m/(m/i)));
        res+=1LL*(sum[last]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return res;
}
int main()
{
    int T,a,b,c,d,k;
    Mobius();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
        a--;c--;
        LL ans=solve(b/k,d/k)-solve(b/k,c/k)-solve(a/k,d/k)+solve(a/k,c/k);
        printf("%lld\n",ans);
    }
}