利用最大堆和最小堆在线寻找中位数

题外话：
前段时间参加校园招聘，经常在一些公司的笔试或者面试中遇到一些不错的算法题，回到宿舍和同学进行交流，收获许多。这段时间，工作定下来后，整天闲着没事，就整理之前一些不错的算法题及其想法。下面这个算法题是一个同学去参加百度校园招聘面试时遇到的题目，当时他写了一篇日志。看到他那篇日志，我和舍友小平同学讨论了两三个小时。下面对当时的想法进行一些整理。

问题：
给定n个int型的数和一个空的集合，每次往集合中插入一个数，每次插入之后给出这个集合的中位数。（中位数的概念是：如果集合有奇数个数，给出排序后处在最中间的那个数；如果是偶数个数，给出排序后最中间两个数的均值。）

分析：
该同学在日记里写到，他看到题目时想到的是O(N*N)的算法，但是没有说具体的算法步骤和思想。我猜想，他可能是想在插入时是采用插入排序的思想，则在集合中插入一个数的复杂度为O(N)，从排好序的集合中选出中位数则是一个复杂度为O(1)的过程，总共插入N次，所以总复杂度为O(N*N)。

小平和我在看到题目时，第一时间想到的都是“二分”。在每次将数插入集合时，采用“二分查找”寻找该数在集合中的位置，这个过程的复杂度是O(log(N))，得出中位数的过程则是O(1)，插入了N次，所以复杂度为O(N*log(N))。

关于二分插入的思想，上面的复杂度分析好像毋庸置疑。但是，上面的分析过程是不对的。采用二分查找，则集合必须能随机访问，而这只能使用数组来实现。然而，在数组插入一个数，则需要将该位置后面的所有元素向后移动。上面的思想中，在二分查找到一个数的位置，并将该数插入集合中，则需要后移该位置后的所有元素。在最坏情况下，每次插入的位置都是第一个，则“移动元素”操作的复杂度为O(N)，那么该思想的复杂度仍然是O(N*N)。

有个同学在该日记的回复给了我思路，该同学的回复是：

“感觉用堆也是可以的，所有比中位数大的组成一个最小堆，比中位数小的组成一个最大堆，每次插入只进行一个堆的插入，然后中位数一定是原中位数、最大堆的最大值和最小堆最小值中产生，再进行堆的调整就可以了，不过复杂度也是NlogN”

刚开始，小平和我对这个回复进行了一下讨论，但是没讨论出一个结果。但是，这个“最大堆和最小堆”却一直萦绕在我的潜意识中。躺在床上，准备睡觉的时候，恍然大悟：可以使用两个变量来控制最大堆和最小堆中元素的个数差。

具体的思路如下：

集合中元素，前一半存储在一个最大堆中，后一半存储在一个最小堆中。使用变量MaxHeapNum记录最大堆元素的个数，使用变量MinHeapNum记录最小堆元素的个数。控制MaxHeapNum与MinHeapNum的差不能超过1。每次将要插入的元素Num与最大堆顶部元素MaxHeapTop和最小堆的顶部元素MinHeapTop将进行比较，根据具体情况进行插入：

1.如果Num < MaxHeapTop，则
  1.1 如果MaxHeapNum <= MinHeapNum，将Num插入最大堆；
  1.2 如果MaxHeapNum == MinHeapNum + 1，将MaxHeapTop从最大堆中移到最小堆，并将Num插入最大堆。
2.如果MaxHeapTop <= Num <= MinHeapTop，则
  2.1 如果MaxHeapNum <= MinHeapNum，将Num插入最大堆；
  2.2 如果MaxHeapNum == MinHeapNum + 1，将Num插入最小堆；
3.如果Num > MinHeapTop，则
  3.1 如果MinHeapNum <= MaxHeapNum，将Num插入最小堆；
  3.2 如果MinHeapNum == MaxHeapNum + 1，将MinHeapTop移到最大堆中，将Num插入最小堆。

在每次插入后，都要根据情况对MaxHeapNum和MinHeapNum进行变更，并将有改动的堆进行堆调整。

上面的插入情况会保证最大堆和最小堆的元素个数差小于1，中位数就只在最大堆和最小堆的顶部元素中产生：如果最大堆和最小堆的元素个数相等，则中位数为最大堆和最小堆的顶部元素的平均值；否则，中位数为元素个数多的那个堆的堆顶元素。

复杂度分析：每次插入元素时的堆调整平均复杂度为O(log(N/2))，插入N次，所以总的复杂度为O(N*log(N/2))。

总结：
前面插入排序的思想和二分查找的思想之所以复杂度高，是因为其做了许多寻找中位数之外的操作，即排序。题目只是要求每次插入集合时，求出集合的中位数，而对集合中的元素是否排序没有要求。寻找中位数，我只需要知道中间的数就OK了，没有必要对所有元素排好序。这正是最后一种思想的精髓：尽量减少额外操作的消耗。