逆元

定义

若 \(ax \equiv 1\space \pmod b\) , 则称 \(x\) 是 \(a\) 关于模 \(b\) 的逆元.
常记做 \(a^{-1}\)
同时, 上式等价于 \(ax + by = 1\) (同余的性质)

条件

逆元不一定存在, 存在的充要条件是 \((a, b) = 1\)

推论

\(p\) 是质数, \(p\) 不整除 \(a\), 则 \(a\) 模 \(p\) 的逆元存在

结论

在 \([0, b)\) 的范围内, \(a\) 关于模 \(b\) 的逆元(若存在), 是唯一的.

方法

可以用 \(exgcd\) 求逆元

code

int inv(int a, int b) {
	int x, y;
	exgcd(a, b, x, y);
	return x;
}

证明充要条件

充分性

反证法;
已知\(ax \equiv 1 \pmod b\)
所以 \(ax + by = 1\)
假设 \((a, b) > 1\)
因为 \((a, b) | a\) 且 \((a,b) | b\)
又因为 \(x,y\) 为整数
所以 \((a, b) | (ax + by)\)
所以 \((a, b) | 1\)
又因为 \((a, b) > 1\)
所以 \((a,b) | 1\) 不成立
所以矛盾
所以 \(a\) 存在模 \(b\) 的逆元，则 \(a,b\) 必然互素

必要性

a,b互素

反证法;
假设 \((a, b) = 1\) 存在整数 $ x $ 使 \(ax \not\equiv 1 \pmod b\)
所以 \(ax + by \neq 1\)
因为 \((a, b) | a\) 且 \((a,b) | b\)
又因为 \(x,y\) 为整数
所以 \((a, b) | (ax + by)\)
所以 \((a, b) \nmid 1\)
又因为 \((a, b) = 1\)
所以 \((a,b) \nmid 1\) 不成立
所以矛盾
所以若 \(a,b\) 互素,则 \(a\) 必然存在模 \(b\) 的逆元

a,b不互素

反证法;
假设 \((a, b) > 1\) 存在整数 $ x $ 使 \(ax \equiv 1 \pmod b\)
所以 \(ax + by = 1\)
因为 \((a, b) | a\) 且 \((a,b) | b\)
又因为 \(x,y\) 为整数
所以 \((a, b) | (ax + by)\)
所以 \((a, b) | 1\)
又因为 \((a, b) > 1\)
所以 \((a,b) | 1\) 不成立
所以矛盾
所以若 \(a,b\) 不互素,则 \(a\) 必然不存在模 \(b\) 的逆元

证明推论

充要条件是 \((a, p) = 1\)
所以, 当\(p\) 是质数, \(p\) 不整除 \(a\), 则 \(a\) 模 \(p\) 的逆元存在

证明结论

反证法 :
若 \(a\) 关于模 \(b\) 的逆元有两个
不妨设 \(0 \leqslant x_1 < x_2 < b\)
即 \(ax_1 \equiv ax_2 \equiv 1 \pmod b\)
\(\Leftrightarrow b|a(x_1-x_2)\) (同余中有说)
又因为 \((a, b) = 1\)
所以 \(b | (x_1 - x_2)\)
又因为 \(0 \leqslant x_1 < x_2 < b\)
矛盾
所以假设不成立
所以在 \([0, b)\) 的范围内, \(a\) 关于模 \(b\) 的逆元(若存在), 是唯一的.