裴蜀定理

定义

设 \((a, b) = d\), 则对于任意整数 \(x, y\), 有 \(d | (ax + by)\) 成立;
特别地, 一定存在 \(x, y\) 满足 \(ax + by = d\).
等价的表述:不定方程 \(ax + by = c (a, b, c\) 为整数 \()\) 有解的充要条件为 \((a, b) | c\)

推论

\(a,b\) 互质等价于 \(ax + by = 1\) 有解

证明

\((1)\) 若 \(b = 0\), 则 \((a, b) = a\).这时定理显然成立
\((2)\) 若 \(a, b\) 都不等于 \(0\)
设 \(a, b > 0\) 且 \(a \geqslant b, (a, b) = d\)
对 \(ax + by = d\) ,两边同时除以 \(d\), 可得 \(a_1x + b_1y = 1\), 其中 \((a1, b1) = 1\)
所以现在就需要证 \(a_1x + b_1y = 1\)
我们可以先设整数 \(r_1, r_2, r_3...r_n , q_1, q_2, q_3...q_{n + 1}\)
令 \(a_1 = q_1b_1 + r_1,\) 其中 \(0 \leqslant r_1 < b_1\)
令 \(b_1 = q_2r_1 + r_2,\) 其中 \(0 \leqslant r_2 < r_1\)
令 \(r_1 = q_3r_2 + r_3,\) 其中 \(0 \leqslant r_3 < r_2\)
令 \(r_2 = q_4r_3 + r_4,\) 其中 \(0 \leqslant r_4 < r_3\)
令 \(r_{n - 3} = q_{n - 1}r_{n - 2} + r_{n - 1},\) 其中 \(0 \leqslant r_{n - 1} < r_{n - 2}\)
令 \(r_{n - 2} = q_{n}r_{n - 1} + r_{n},\) 其中 \(0 \leqslant r_{n} < r_{n - 1}\)
令 \(r_{n - 1} = q_{n + 1}r_{n}\) ,即一直到 \(r_n = 1\)
于是有 \((a_1, b_1) = (b_1, r_1) = (r_1, r_2) = ... = (r_{n - 1}, r_n) = 1\)
所以 \(r_{n - 2} = q_nr_{n - 1} + 1\)
即 \(1 = r_{n - 2} - q_nr_{n - 1}\)
同理可以把以上式子全部转换
把 \(r_{n - 1} = r_{n - 3} - q_{n - 1}r_{n - 2}\) 带入上式, 得
\(1 = (1 + x_nx_{n - 1})r_{n - 2} - q_nr_{n - 3}\)
然后不断地往上带, 逐个的消去 \(r_{n - 2}, r_{n - 3}...r_1\)
然后即可证得 \(1 = a_1x + b_1y\)