最大公约数

定义

设 \(a, b\) 是不都为 \(0\) 的整数, \(c\) 为满足 \(c | a\) 且 \(c | b\) 的最大整数.
则称 \(c\) 是 \(a, b\)的最大公约数
记为 \(\gcd(m, n)\) 或 \((a, b)\)
若\((a, b) = 1\), 则称 \(a, b\) 互质(互素)

性质

\((1)\) \((a, a) = (0, a) = a\)
\((2)\) 若 \(a|b\) , 则\((a, b) = a\)
\((3)\) \((a, b) = (a, a + b) = (a, ka + b)\)
\((4)\) \((ka, kb) = k \times (a, b)\)
\((5)\) \((a, b, c) = ((a , b), c)\)

求gcd

求 \(GCD\) 的一般公式:质因数分解
\(a = p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}...p_k^{a_k}\)
\(b = p_1^{b_1}p_2^{b_2}p_3^{b_3}...p_k^{b_k}\)
\((a, b) = p_1^{\min(a_1, b_1)}p_2^{\min(a_2, b_2)}p_3^{\min(a_3, b_3)}...p_k^{\min(a_k, b_k)}\)

例题

[CF 664A] Complicated GCD
[CF 757B] Bash’s Big Day

证明性质1

因为 \(a\) 是 \(a\) 的最大约数,且 \(a | 0\)
所以 \((a, a) = (0, a) = a\)

证明性质2

因为 \(a\) 是 \(a\) 的最大约数, 且 \(a | b\)
所以 \((a, b) = a\)

证明性质3

设 \(c = (a, b)\)
所以 \(c | a, c | b\)
所以 \(c | (a + b)\) (这个在整除的部分里写过也证过)
所以 \(a, b\) 的最大公约数是 \(a, a + b\) 的约数
设 \(d = (a, a + b)\)
所以 \(d | a, d | (a + b)\)
所以 \(d | (a - (a + b)) \Rightarrow d | (-b) \Rightarrow d | b\)
所以 \(a , a + b\) 的最大公约数是 \(a, b\) 的约数
所以 \((a, b) = (a , a + b)\)
同理可得: \((a, b) = (a, a + b) = (a, ka + b)\)

证明性质4

设 \(kc = (ka, kb)\)
所以 \(kc | ka, kc | kb\)
所以 \(c | a, c | b\)
所以 $ ka, kb $ 最大公约数是 \(a, b\) 的约数的 \(k\) 倍
设 \(d = (a, b)\)
所以 \(d | a, d | b\)
所以 \(kd | ka, kd | kb\)
所以 $ a, b $ 最大公约数的 \(k\) 倍是 \(a, b\) 的约数
所以 \((ka, kb) = k \times (a, b)\)

证明性质5

根据求 \(gcd\) 的一般方法即可证明(不想写不证了)