质数和合数

定义

质数又称素数(下文中不区分质数和素数)

设 $ p \in Z_+ $
\((1)\) 当且仅当 $ p > 1 $ 且只能被 $ 1 $ 和 $ p $ 整除(即 $ p $ 仅有两个因子 $ 1 $ 和 $ p $ ), 则称 $ p $ 是一个质数;
\((2)\) 否则, 若 $ p > 1 $ , 则称 $ p $ 是一个合数;
\((3)\) 当 $ p = 1 $, $ p $ 既不是质数也不是合数.

性质

\((1)\) 质数有无穷多个.
\((2)\) 若 $ n $ 是一个合数, 则 $ n $ 至少有一个质因子.
\((3)\) 若 $ n $ 是一个合数, 其中最小的质因子一定不大于 $ \sqrt n $
\((4)\) 若 $ n $ 是一个合数, 不大于 $ n $ 的质数约有 $ \dfrac{n}{\ln n} $ 个.

唯一分解定理

把正整数 $ n $ 写成质数的乘积

\(n = p_{1}^{a_1}*p_2^{a_2}*p_3^{a_3} *...*p_k^{a_k}\)

其中 \(p_i\) 为质数, $a_i $ 为正整数
这样的表示是唯一的.

试除法

最简单的判断一个数\(n\)是否为质数的方法
只需要从 $ 2 $ 除到 $ \sqrt n$ 即可, 如果中间有整数能整除 \(n\) 则 \(n\) 是合数, 反之 $ n $ 是质数

例题

[CF 776B] Sherlock and his girlfriend

证明性质1

反证法:
假设素数是有限个, 设最大素数为 \(P\)
设 $ N $ 是所有素数之积加一, $ N = 2 \times 3 \times ... \times P + 1 $
所以 $ N > P $
又因为 \(P\) 是最大素数
所以 $ N $ 是合数
但是 $ N $ 除以任何一个素数都余 $ 1 $
\((1)\) 若 $ N $ 是素数, 则与 $ P $ 是最大素数矛盾.
\((2)\) 若 $ n $ 是合数, 则 $ N $ 必有一个大于 $ P $的素数约数, 与假设矛盾.
所以素数有无限个

证明性质2

反证法:
假设存在合数没有质因子
那么这些合数中必然有最小的一个合数 $ a $
因为 $ a $ 为合数
所以一定可以写成除了 $ 1 $ 和 $ a $ 之外的整数的积
设其中一个为 $ b $. 则 $ b < a $
又因为 $ a $ 没有质因数
那么 $ b $ 为合数, 且也不存在质因数,
则 $ b $ 也是没有质因数的合数
但是 $ b < a $ 与假设矛盾
所以任意一个合数至少有一个质因子.

证明性质3

反证法:
设\(n\)最小的质因数是$d,\space d > \sqrt{n} $
那考虑\(n\)的分解形式：$ n = d \times x \space , \space x \in N_+ $
显然 $ x = \dfrac{n}{d} $为小于 $ d $ 的因数，矛盾
如果 $ x $ 为合数,不断的分解为质数即可

证明性质4

知道就好了其实是我不会

证明唯一分解定理

有两处值得证明, 一是存在性, 二是唯一性

存在性

反证法:
假设 $ n $ 为不能被分解为质数乘积的自然数中的最小的一个
因为如果 $ n $ 为素数
那么 $ n $ 显然只能被分解为 $ n $
所以假设 $ n $ 为大于 $ 1 $ 的合数
所以一定存在两个数 $ a , b $ 能整除 $ n $ ,且 $ 1 < a , b < n,$ 所以得到 $ n = a \times b $
如果 $ a , b $ 都为质数, 与假设矛盾
如果 $ a , b $ 中有一个为合数
假设是 $ a $
因为 $ n $ 已经是最小的不能被分解为素数乘积的合数了
如果 $ a $ 不能被分解
那么 $ n $ 为最小的不能被分解的合数这个条件就出现了矛盾
所以 $ a $ 是可以被分解为素数乘积的
所以 $ n $ 为能被分解为质数乘积, 与假设矛盾
同理当两个数都为合数的时候会得到相同的矛盾

唯一性

反证法:
假设 $ n $ 为最小的不能被唯一分解为一系列素数相乘的合数
设 $ n $ 能被分解为以下两种形式
\(n = p_1p_2p_3...p_n\) ①
\(n = q_1q_2q_3...q_n\) ②
其中 \(p_i\) 和 \(q_i\) 均为素数，且单调不减
如果 \(p_i = q_i\)
那么两式联立时会被约掉，那样的话我们能得到一个更小的素数组合
所以 \(p_i\) 与 任何一个 $ q_i $ 都不相等,\(q_i\) 与 任何一个 $ p_i $ 都不相等
所以 $ p_i \neq q_i $
那么设 $ p_i < q_i$
然后用 $ p_1 $ 去替换②中的 \(q_1\) (这里用 \(p_1\) 和 \(q_1\) 表示, 直接用 \(p_i\) 和 \(q_i\) 表示也行,不过 \(p_1\) 和 \(q_1\) 表示更容易理解)
从而得到一个比 $ n $ 更小的数 $ m $
$ m = p_1q_2q_3...q_n$
设 $ X = n − m $
那么它应该会有以下两种形式：
\(X = p_1p_2p_3...p_n - p_1q_2q_3...q_n = p_1(p_2p_3…p_n − q_2q_3…q_n)\) ③
\(X = q_1q_2q_3...q_n - p_1q_2q_3...q_n = (q_1 -p_1 )(q_2q_3…q_n)\) ④
因为 $ X $ 比 $ n $ 要小
由假设得
因为 $ n $ 为最小的不能被唯一分解为一系列素数相乘的合数
所以 $ X $ 是能被唯一分解为一系列素数的乘积的
由③得, \(p_1\) 为 \(X\)的一个质因子
因为 $ X $ 的分解具有唯一性
所以 \(p_1\) 要么包含于 $ q_1 − p_1 $ 中, 要么包含于 $q_2q_3…q_n $ 中

\((1)\) 当 \(p_1\) 包含于 $ q_1 − p_1 $ 中
那么 $ \dfrac{q_1 − p_1}{p_1} $ 为整数
即 $ \dfrac{q_1}{p_1} - 1 $ 为整数
那么 $ \dfrac{q_1}{p_1}$ 为整数
又因为 \(q_1, p_1\) 为素数 且 \(q_1 \neq p_1\)
所以 $ \dfrac{q_1}{p_1}$ 不可能为整数
矛盾

\((2)\) 当 $ p_1 $ 包含于 \(q_2q_3…q_n\)
因为假设中 \(p_1\) 与 任何一个 $ q_i $ 都不相等
所以 $ p_1 $ 不包含于 $q_2q_3…q_n $
矛盾

综上所述:正整数 $ n $ 写成质数的乘积的表示是唯一的

试除法证明

反证法:
设 $ N = p \times q $
若 $ p > \sqrt N, q > \sqrt N $
则 $p \times q > N $
所以 \(p, q\) 中有一个小于等于 $ \sqrt N $
所以 只需要判断到 $ \sqrt N$ 即可