bzoj 2726 [SDOI2012]任务安排（斜率DP+CDQ分治）

 

【题目链接】

 

    http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2726

 

【题意】

 

    将n个任务划分成若干个块，每一组Mi任务花费代价(T+sigma{ tj }+s)*sima{ fi },j属于Mi，T为当前时间，问最小代价。

 

【思路】

 

    设f[i]为将前i个任务划分完成的最小费用，Ti Fi分别表示t和f的前缀和，则不难写出转移方程式：

        f[i]=min{ f[j]+(F[n]-F[j])*(T[i]-T[j]+s) },1<=j<=i-1

    经过整理得到：

        f[i]=min{ -T[i]*F[j]+(f[j]-F[n]*T[j]+F[j]*T[j]-s*F[j]) }

    设X(i)=F[i],Y(i)=f[j]-F[n]*T[j]+F[j]*T[j]-s*F[j],a(i)=T[i]则有：

        f[i]=min{ -a(i)*X(j)+Y(j) }

    则我们需要：

        min p = -a(i)*X(j)+Y(j)

    即最小化直线方程：Y(j)=a(i)*X(j)+p的截距。

    如果时间没有负数的话（出题人神脑洞<_<，这个题可以直接上单调队列维护下凸线。事实上这个算法可以得到60分。

    有了负数以后因为斜率不满足随x单调，所以不能使用单调队列。

    然后这道题就需要用splay或CDQ分治解。

    Splay写法还是不会=-=，CDQ分治的处理和 这道题 类似，就不再赘述了。

 

    需要注意的：x,y可能到达long long级别，所以不要直接除得slop

　　　　　　　 运算过程中long long的标识。

　　　　　　　 归并数组的时候几个小条件。

 

【代码】

 

#include<set>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define trav(u,i) for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt)
#define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);a--)
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 5e5+10;
const ll inf = 1e18;

ll read() {
    char c=getchar();
    ll f=1,x=0;
    while(!isdigit(c)) {
        if(c=='-') f=-1; c=getchar();
    }
    while(isdigit(c))
        x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}

struct Pt 
{
    ll x,y,k;
    int id;
    bool operator < (const Pt& rhs) const 
    {
        return k<rhs.k;
    }
}q[N],t[N];

bool cmp(const Pt& a,const Pt& b)
{
    return a.x<b.x || a.x==b.x&&a.y<b.y;
}

int T[N],F[N],st[N],top,n,s; ll f[N];

ll U(int j,int k)
{
    return (ll)q[k].y-q[j].y;
}
ll D(int j,int k)
{
    return (ll)q[k].x-q[j].x;
}

void solve(int l,int r)
{
    if(l==r) {
        q[l].x=(ll)F[l];
        q[l].y=(ll)f[l]-(ll)F[n]*T[l]+(ll)F[l]*T[l]-(ll)s*F[l];
        return ;
    }
    int mid=l+r>>1;
    int l1=l,l2=mid+1;
    FOR(i,l,r) {
        if(q[i].id>mid) t[l2++]=q[i];
        else t[l1++]=q[i];
    }
    memcpy(q+l,t+l,sizeof(Pt)*(r-l+1));
    solve(l,mid);
    top=0;
    FOR(i,l,mid) {
        while(top>1 && (ll)U(st[top-1],st[top])*D(st[top-1],i)>(ll)U(st[top-1],i)*D(st[top-1],st[top])) top--;
        st[++top]=i;
    }
    int j=1;
    FOR(i,mid+1,r) {
        while(j<top && U(st[j],st[j+1])<(ll)q[i].k*D(st[j],st[j+1])) j++;
        f[q[i].id]=min(f[q[i].id],-(ll)q[i].k*q[st[j]].x+q[st[j]].y+(ll)F[n]*(T[q[i].id]+s));
    }
    solve(mid+1,r);
    l1=l,l2=mid+1;
    FOR(i,l,r) {
        if((l2>r||cmp(q[l1],q[l2]))&&l1<=mid) t[i]=q[l1++];
        else t[i]=q[l2++];
    }
    memcpy(q+l,t+l,sizeof(Pt)*(r-l+1));
}

int main()
{
//    freopen("in.in","r",stdin);
//    freopen("out.out","w",stdout);
    n=read(),s=read();
    FOR(i,1,n)
        T[i]=read(),T[i]+=T[i-1],
        F[i]=read(),F[i]+=F[i-1];
    FOR(i,1,n) {
        q[i].id=i;
        q[i].k=T[i];
        f[i]=inf;
    }
    sort(q+1,q+n+1);
    solve(0,n);
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}

 

简单DP（20分）

#include<set>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define trav(u,i) for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt)
#define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);a--)
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 2e5+10;
const ll inf = 1e18+10;

ll read() {
    char c=getchar();
    ll f=1,x=0;
    while(!isdigit(c)) {
        if(c=='-') f=-1; c=getchar();
    }
    while(isdigit(c))
        x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}

ll T[N],F[N],f[N],pre[N],n,s;

int main()
{
    freopen("in.in","r",stdin);
    freopen("outr.out","w",stdout);
    n=read(),s=read();
    FOR(i,1,n) 
        T[i]=read(),T[i]+=T[i-1],F[i]=read(),F[i]+=F[i-1]    ;
    FOR(i,1,n) {
        f[i]=inf;
        FOR(j,0,i-1) {
            //f[i]=min(f[i],f[j]+(F[n]-F[j])*(T[i]-T[j]+s));
            int tmp=-T[i]*F[j]+(f[j]-F[n]*T[j]+F[j]*T[j]-s*F[j]);
            if(tmp<f[i]) pre[i]=j,f[i]=tmp;
        }
        f[i]+=F[n]*(T[i]+s);
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    //FOR(i,1,n) {
    //    printf("%d %d\n",F[i],f[i]-F[n]*T[i]+F[i]*T[i]-s*F[i]);
    //}
    return 0;
}