bzoj 3757 苹果树（树上莫队算法）

 

【题意】

 

    有若干个询问，询问路径u,v上的颜色总数，另外有要求a,b，意为将a颜色看作b颜色。

 

【思路】

 

    vfk真是神系列233。

    Quote：

 

用S(v, u)代表 v到u的路径上的结点的集合。

用root来代表根结点，用lca(v, u)来代表v、u的最近公共祖先。

那么

S(v, u) = S(root, v) xor S(root, u) xor lca(v, u)

其中xor是集合的对称差。

简单来说就是节点出现两次消掉。

 

lca很讨厌，于是再定义

T(v, u) = S(root, v) xor S(root, u)

观察将curV移动到targetV前后T(curV, curU)变化：

T(curV, curU) = S(root, curV) xor S(root, curU)

T(targetV, curU) = S(root, targetV) xor S(root, curU)

取对称差：

T(curV, curU) xor T(targetV, curU)= (S(root, curV) xor S(root, curU)) xor (S(root, targetV) xor S(root, curU))

由于对称差的交换律、结合律：

T(curV, curU) xor T(targetV, curU)= S(root, curV) xor S(root, targetV)

两边同时xor T(curV, curU)：

T(targetV, curU)= T(curV, curU) xor S(root, curV) xor S(root, targetV)

发现最后两项很爽……哇哈哈

T(targetV, curU)= T(curV, curU) xor T(curV, targetV)

（有公式恐惧症的不要走啊 T_T）

 

也就是说，更新的时候，xor T(curV, targetV)就行了。

即，对curV到targetV路径(除开lca(curV, targetV))上的结点，将它们的存在性取反即可。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　from vfleaking

 

    设目前指针处于a,b，且now为已经得到的T(curV,curU)的统计答案，此次询问为u,v，则我们使a->u,b->v，设计一个vis标记，路上取反标记并更新now，即xor T(curV,targetV)，最后还要取反lca(u,v)才是一个完整的u->v路径。

 

【代码】

 

#include<set>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define trav(u,i) for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt)
#define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 4e5+10; 
const int D = 21;

ll read() {
    char c=getchar();
    ll f=1,x=0;
    while(!isdigit(c)) {
        if(c=='-') f=-1; c=getchar();
    }
    while(isdigit(c))
        x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}

struct Edge {
    int v,nxt;
}e[N];
int en=1,front[N];
void adde(int u,int v) 
{
    e[++en]=(Edge){v,front[u]}; front[u]=en;
}

int n,m,B,B_cnt,now,dfsc,dfn[N],ans[N];
int pos[N],a[N],cnt[N],vis[N],fa[N][D],dep[N],st[N],top;

struct Node 
{
    int id,l,r,a,b;
    bool operator < (const Node& rhs) const
    {
        return pos[l]<pos[rhs.l] || (pos[l]==pos[rhs.l]&&dfn[r]<dfn[rhs.r]);
    }
} q[N];

int dfs(int u)
{
    FOR(i,1,D-1)
        fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
    int size=0;
    dfn[u]=++dfsc;
    trav(u,i) 
    {
        int v=e[i].v;
        if(v!=fa[u][0]) {
            fa[v][0]=u;
            dep[v]=dep[u]+1;
            size+=dfs(v);
            if(size>=B) {
                B_cnt++;
                while(size--)
                    pos[st[top--]]=B_cnt;
            }
        }
    }
    st[++top]=u;
    return size+1;
}
int lca(int u,int v)
{
    if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
    int t=dep[u]-dep[v];
    FOR(i,0,D-1) 
        if((1<<i)&t) u=fa[u][i];
    if(u==v) return u;
    for(int i=D-1;i>=0;i--)
        if(fa[u][i]!=fa[v][i])
            u=fa[u][i],v=fa[v][i];
    return fa[u][0]; 
}
void upd(int u)
{
    if(!vis[u]) {
        vis[u]=1; 
        now+=(++cnt[a[u]])==1;
    } else {
        vis[u]=0;
        now-=(--cnt[a[u]])==0;
    }
}
void work(int u,int v)
{
    while(u!=v)
    {
        if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
        upd(u); u=fa[u][0];
    }
}
int main()
{
//    freopen("in.in","r",stdin);
//    freopen("out.out","w",stdout);
    n=read(),m=read();
    B=sqrt(n);
    FOR(i,1,n) a[i]=read();
    int rt,u,v;
    FOR(i,1,n) {
        u=read(),v=read();
        if(!u) rt=v;
        else if(!v) rt=u;
        else adde(u,v),adde(v,u);
    }
    dfs(rt);
    B_cnt++;
    while(top) pos[st[top--]]=B_cnt;
    FOR(i,1,m) {
        q[i].l=read(),q[i].r=read();
        q[i].a=read(),q[i].b=read();
        q[i].id=i;
        if(dfn[q[i].l]>dfn[q[i].r]) swap(q[i].l,q[i].r);
    }
    sort(q+1,q+m+1);
    
    work(q[1].l,q[1].r);
    int lc=lca(q[1].l,q[1].r);
    upd(lc);
    ans[q[1].id]=now;
    ans[q[1].id]-=(q[1].a!=q[1].b)&&(cnt[q[1].a]&&cnt[q[1].b]);
    upd(lc);
    
    FOR(i,2,m) {
        work(q[i-1].l,q[i].l);
        work(q[i-1].r,q[i].r);
        lc=lca(q[i].l,q[i].r);
        upd(lc);
        ans[q[i].id]=now;
        ans[q[i].id]-=(q[i].a!=q[i].b)&&(cnt[q[i].a]&&cnt[q[i].b]);
        upd(lc);
    }
    
    FOR(i,1,m)
        printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}